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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Sa 09.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | A und B seien Mengen. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(i) A [mm] \subseteq [/mm] B
(ii) A [mm] \cup [/mm] B = B
(iii)A [mm] \cap [/mm] B = A |
Hallo.
Also A [mm] \subseteq [/mm] B := [mm] \{ \forall x \in A | x \in B }
[/mm]
Ich fange damit an, dass A [mm] \cup [/mm] B [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B
doch wie geht es dann weiter?
Das gleiche Problem habe ich bei A [mm] \cap [/mm] B = A [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B
Bei der Rückrichtung dachte ich an folgenden Ansatz:
B = x [mm] \in [/mm] B und durch 1 weiß ich ja, dass das x auch [mm] \in [/mm] A ...
Wäre schön, wenn mir jemand einen Denkanstoß geben würde. 
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> A und B seien Mengen. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen
> äquivalent sind:
>
> (i) A [mm]\subseteq[/mm] B
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> (ii) A [mm]\cup[/mm] B = B
>
> (iii)A [mm]\cap[/mm] B = A
> Hallo.
>
> Also A [mm]\subseteq[/mm] B := [mm]\{ \forall x \in A | x \in B }[/mm]
Hallo,
Du meinst das schon richtig, schreibst es aber falsch auf:
[mm] A\subseteq [/mm] B
[mm] \gdw [/mm]
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A : x [mm] \in [/mm] B.
Okay.
Zeigen wir also (i)==>(ii)
Beweis:
Es sei [mm] A\subseteq [/mm] B.
Zu zeigen ist nun:A [mm] \cup [/mm] B = B.
Mengengleichheit zeigt man, indem man beide Teilmengenbeziehungen zeigt.
Es ist also zu zeigen
a. A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] B
b. [mm] B\subseteq [/mm] A [mm] \cup [/mm] B
zu a.
Wir müssen zeigen, daß jedes Element aus [mm] A\cup [/mm] B auch in B liegt.
Sei also [mm] x\in A\cup [/mm] B.
==> [mm] x\in [/mm] A oder [mm] x\in [/mm] B.
Da nach Voraussetzung [mm] A\subseteq [/mm] B, folgt [mm] x\in [/mm] B.
zu b.
Das machst Du.
Beschäftige Dich ebenso gründlich und kleinteilig mit der nächsten zu zeigenden Aussage.
LG Angela
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