A der Lemniskate des Bernoulli < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man berechne die von der Lemniskate des Bernoulli eingeschlossene Fläche:
K={(x,y) [mm] \in \IR [/mm] ²: (x²+y²)²=2b²(x²-y²)}, a>0 |
Hallo!
Ich komme mit dieser Aufgabe leider absolut nicht zurecht.
Habe zuerst die Grenzen berechnet (NS):
(x²+y²)²=2b²(x²-y²)
[mm] x^{4}+2x²y²+y^{4}=2b²x²-2b²y² [/mm] /y=0
[mm] x^{4}=2b²x²
[/mm]
1= [mm] \bruch{2b²x²}{x^{4}}
[/mm]
1= [mm] \bruch{2b²}{x²}
[/mm]
x²=2b²
x=+/- [mm] \wurzel{2b²}
[/mm]
Wenn das stimmt hätte ich ja nun schonmal die obere und untere Grenze. Stimmt es denn? Aber wo ist die NS (0|0)? Denn die Lemniskate von Bernoulli ist ja eine auf die Seite gelegte Acht. Also ist da noch eine NS bei (0|0).
Und wie integriere ich nun die Funktion, damit ich den Flächeninhalt berechnen kann? Habe allerdings im Internet gefunden, dass A=a² ist, wobei a die Länge von (0|0) bis zur NS ist, also [mm] \wurzel{2b²}. [/mm] Stimmt das?
Aber wie kommt man darauf?
Hoffe, dass mir vielleicht jm helfen kann...
Danke schonmal!
LG, Raingirl87
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Hallo zu später Stunde...
Ich will mal versuchen, ein paar Hinweise zu geben, mit denen Du vielleicht weiter kommst. Die Lemniskate ist eine um 90° gedrehte 8 mit Schnittpunkt der Linien im Ursprung. Wegen dieser Symmetrie reicht es schon, wenn man den Inhalt des Teils der Lemniskate ausrechnet, der im 1.Quadranten liegt.
Am Schönsten wäre es, wenn man aus der angegebenen Gleichung für die Lemniskate das y eliminieren könnte und dann y=y(x) = ... hätte, also die Lemniskate als Graph einer Funktion. Die müßte man dann von 0 bis [mm] \wurzel{2}b [/mm] integrieren und das Integral - wenn y(x) nicht zu gemein ist - dann ausrechnen.
Hier ist das y(x) aber sehr gemein (kannst es ja mal berechnen), also geht's so nicht.
Die Fläche, um die es geht, ist die Menge
L = [mm] \{(x,y);(x^{2}+y^{2})^{2} \le 2b^{2}(x^{2}-y^{2}) \,und\, x,y >\ge 0\}. [/mm] Wir wollen also berechnen:
[mm] \integral_{L} [/mm] {1 d(x,y)},
denn die Funktion konstant 1 integriert über einen Bereich L ergibt genau den Flächeninhalt von L. Es handelt sich also um ein zweidimensionales Integral.
Der Ausdruck [mm] x^{2}+y^{2} [/mm] L motiviert, es mal mit Polarkoordinaten zu versuchen. Führe also Polarkoordinaten ein und benutze die Transformationsformel...
Vielleicht hilft Dir das ja schon etwas.
Gruß von Torsten
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