A_{f,X,Y} erstellen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei X:= [mm] (\vektor{1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1}) [/mm] die kanonische Basis von [mm] \IR^2 [/mm] ; [mm] Y:=(\vektor{0 \\ 1},\vektor{1 \\ 0}) [/mm] ist ebenfalls eine Basis von [mm] \IR^2. [/mm] Sei f: [mm] \IR^2 \to \IR^2 [/mm] die durch
f(x,y):= (x+2y,3x+4y) gegebene lineare Abbildung. Welche der folgenden Matrizen ist [mm] A_{f,X,Y}?
[/mm]
(1) [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] (2) [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 4 & 3 }
[/mm]
(3) [mm] \pmat{ 3 & 4 \\ 1 & 2 } [/mm] (4) [mm] \pmat{ 4 & 3 \\ 2 & 1 }
[/mm]
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Hallo!
Also ich weiß eigentlich überhauptnicht welche richtig ist, da ich nicht weiß, wie ich an die Sache herangehen soll, oder alles was ich versucht habe kam nicht hin...
Also, ich weiß, dass gelten muss: [mm] f(a)_{Y} [/mm] = [mm] A_{f,X,Y} [/mm] * [mm] a_{X}
[/mm]
Ich wähle jetzt a= [mm] (\vektor{1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1}) [/mm] damit ist [mm] a_{X}= (\vektor{1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1})
[/mm]
f(a)= [mm] (\vektor{1 \\ 2},\vektor{3 \\ 4})
[/mm]
stimmt das soweit?
und wäre dann [mm] f(a)_{Y}= (\vektor{2 \\ 1},\vektor{4 \\ 3}) [/mm] ?
Denn wenn ich jetzt rechne: [mm] A_{f,X,Y} [/mm] * [mm] a_{X} [/mm] mit jeder der Matrizen [mm] A_{f,X,Y} [/mm] ist das Ergebnis nie [mm] f(a)_{Y}= (\vektor{2 \\ 1},\vektor{4 \\ 3}) [/mm] .
Wäre für Hilfe sehr dankbar! Auch, wenn mir jemand sagen könnte, wie ich eine Matrix [mm] A_{f,X,Y} [/mm] im Allgemeinen berechne und nicht nur ausprobiere welche richtig ist ;)
Danke!
MFG
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Hallo MichaelKelso,
> Sei X:= [mm](\vektor{1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1})[/mm] die kanonische
> Basis von [mm]\IR^2[/mm] ; [mm]Y:=(\vektor{0 \\ 1},\vektor{1 \\ 0})[/mm] ist
> ebenfalls eine Basis von [mm]\IR^2.[/mm] Sei f: [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm] die
> durch
> f(x,y):= (x+2y,3x+4y) gegebene lineare Abbildung. Welche
> der folgenden Matrizen ist [mm]A_{f,X,Y}?[/mm]
>
> (1) [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }[/mm] (2) [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 4 & 3 }[/mm]
>
> (3) [mm]\pmat{ 3 & 4 \\ 1 & 2 }[/mm] (4) [mm]\pmat{ 4 & 3 \\ 2 & 1 }[/mm]
>
> Hallo!
> Also ich weiß eigentlich überhauptnicht welche richtig
> ist, da ich nicht weiß, wie ich an die Sache herangehen
> soll, oder alles was ich versucht habe kam nicht hin...
> Also, ich weiß, dass gelten muss: [mm]f(a)_{Y}[/mm] = [mm]A_{f,X,Y}[/mm] *
> [mm]a_{X}[/mm]
>
> Ich wähle jetzt a= [mm](\vektor{1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1})[/mm]
> damit ist [mm]a_{X}= (\vektor{1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1})[/mm]
> f(a)=
> [mm](\vektor{1 \\ 2},\vektor{3 \\ 4})[/mm]
>
> stimmt das soweit?
> und wäre dann [mm]f(a)_{Y}= (\vektor{2 \\ 1},\vektor{4 \\ 3})[/mm]
> ?
>
> Denn wenn ich jetzt rechne: [mm]A_{f,X,Y}[/mm] * [mm]a_{X}[/mm] mit jeder
> der Matrizen [mm]A_{f,X,Y}[/mm] ist das Ergebnis nie [mm]f(a)_{Y}= (\vektor{2 \\ 1},\vektor{4 \\ 3})[/mm]
> .
>
> Wäre für Hilfe sehr dankbar! Auch, wenn mir jemand sagen
> könnte, wie ich eine Matrix [mm]A_{f,X,Y}[/mm] im Allgemeinen
> berechne und nicht nur ausprobiere welche richtig ist ;)
> Danke!
Ich verstehe deine Vorgehens- bzw. Bezeichnungsweise irgendwie nicht.
Eine Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung bzgl. der Basen $X$ des Urbildraumes und $Y$ des Zielraumes berechnet man doch so, dass man die Basisvektoren aus $X$ abbildet und als LK der Basisvektoren des Zielraumes darstellt.
Macht man das für den i-ten Basisvektor, so stopfe man die Koeffizienten der LK in die i-te Spalte der Darstellungsmatrix
Nehmen wir den [mm] $\red{1}$.Basisvektor [/mm] aus $X$ her:
Das ist [mm] $\vektor{1\\0}$
[/mm]
Dann ist [mm] $f\vektor{1\\0}=\vektor{1\\3}=\blue{3}\cdot{}\vektor{0\\1}+\blue{1}\cdot{}\vektor{1\\0}$
[/mm]
Also stopft man in die [mm] \red{1}. [/mm] Spalte der Darstellungsmatrix den Koeffizientenvektor [mm] $\blue{\vektor{3\\1}}$
[/mm]
Analog berechne die 2.Spalte und die Antwort ist nicht weit ...
> MFG
LG
schachuzipus
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Hallo!
Dann ist also (1) die richtige Antwort?
f(x,y)=(1x+2y,3x+4y)
1 * [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] + 3 * [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 3}
[/mm]
2 * [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] + 4 * [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 2}
[/mm]
Und daraus ergibt sich dann die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }
[/mm]
hab ich das richtig verstanden?
Wenn ich also eine Abbildung von [mm] \IR^3 \to \IR^4 [/mm] hätte mit f(x,y,z)= (x+2y+5z,3x+7y+z,8x+4y+9z,10x+4y+13z) und die Basis von [mm] \IR^3 [/mm] ist: [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 }also [/mm] rein hypothetisch, es sei mal dahingestellt, ob das tatsächlich eine ist, nur damit ich die Vorgehensweise richtig verstanden habe... ;)
Also, ist dann die Darstellungsmatrix [mm] A_{f,X,Y}= \pmat{ 8 & 4 & 9 & 13 \\ 3 & 7 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 5 & 10 } [/mm] ?
und vielen Dank, das hat mir wirklich sehr geholfen!
MFG
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Hallo nochmal,
> Hallo!
> Dann ist also (1) die richtige Antwort?
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Ich habe dir doch die 1.Spalte der Darstellungsmatrix in aller Ausführlichkeit vorgerechnet und dir erklärt, wie sie sich ergibt.
Die einzige Matrix, die [mm] $\vektor{3\\1}$ [/mm] in der ersten Spalte hat, ist die in 3)
Wie kannst du da 1) sagen?
Das ist mir ein großes Mysterium, es sei denn, du hast meine Antwort gar nicht gelesen, was mich kolossal ärgern würde.
> f(x,y)=(1x+2y,3x+4y)
>
> 1 * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] + 3 * [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 3}[/mm]
>
> 2 * [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] + 4 * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ 2}[/mm]
>
> Und daraus ergibt sich dann die Matrix [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }[/mm]
Völliger Unsinn!
>
> hab ich das richtig verstanden?
Offensichtlich überhaupt nicht.
Was ist an dem Kochrezept, das ich dir oben genannt habe, so unverständlich, dass du völligen Eiersalat daraus machst??
>
>
>
> Wenn ich also eine Abbildung von [mm]\IR^3 \to \IR^4[/mm] hätte mit
> f(x,y,z)= (x+2y+5z,3x+7y+z,8x+4y+9z,10x+4y+13z) und die
> Basis von [mm]\IR^3[/mm] ist: [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] , [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> , [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }also[/mm] rein hypothetisch, es sei mal
> dahingestellt, ob das tatsächlich eine ist,
es ist offensichtlich eine ...
> nur damit ich die Vorgehensweise richtig verstanden habe... ;)
>
> Also, ist dann die Darstellungsmatrix [mm]A_{f,X,Y}= \pmat{ 8 & 4 & 9 & 13 \\ 3 & 7 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 5 & 10 }[/mm]
> ?
Nein, das ist wirres Zeugs.
Eine Darstellungsmatrix ergibt sich immer bezüglich zweier Basen, der des Urbildraumes und der des Bildraumes.
Bzgl. welcher Basis des [mm] $\IR^4$ [/mm] hast du denn hier 'gerechnet'?
>
> und vielen Dank, das hat mir wirklich sehr geholfen!
Offenbar leider eher nicht.
Daher der Tipp:
Lies die andere Antwort nochmal laaaangsam und mit Bedacht durch. Wie lautet die 2.Spalte der Darstellungsmatrix bzgl. der beiden gegebenen Basen X und Y?
Rechne langsam und ausführlich nach Rezept vor, dann sehen wir weiter ...
> MFG
Gruß
schachuzipus
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Hallo!
Also, ich habe mir deine Antwort durchgelesen, sie aber zuerst nicht richtig verstanden und dazu hatte ich noch einen Zahlendreher darin...!
Ich würde mir ja kaum den Umstand machen mir eine Aufgabe auszudenken, wenn ich es mit dem Thema nicht ernst meinen würde.
Also zu der Ursprungsaufgabe:
[mm] f(\vektor{1 \\ 0}) [/mm] = 1* [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] + 3* [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 3}
[/mm]
[mm] f(\vektor{0 \\ 1}) [/mm] = 2* [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] + 4* [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 4}
[/mm]
Die über die Basis Y dargestellt ergibt:
[mm] \vektor{1 \\ 3 } [/mm] = a * [mm] \vektor{0 \\ 1 } [/mm] + b * [mm] \vektor{ 1 \\ 0 } [/mm] => a=3 [mm] \wedge [/mm] b=1 => [mm] \vektor{ 3 \\ 1 } [/mm] Als Koeffizientenspaltenvektor
[mm] \vektor{2 \\ 4} [/mm] = c * [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] + d * [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] => c=4 [mm] \wedge [/mm] d=2 => [mm] \vektor{4 \\ 2} [/mm] Als Koeffizientenspaltenvektor
und diese fügen sich dann zu [mm] A_{j,X,Y} [/mm] = [mm] \pmat{ 3 & 4 \\ 1 & 2 } [/mm] zusammen. Ist die Vorgehensweise so richtig?
Nun meine selbst erdachte Aufgabe:
f: [mm] \IR^3 \to \IR^4 [/mm] , f(x,y,z) = (1x+2y+5z , 3x+7y+1z , 8x+4y+9z)
Basis von [mm] \IR^3 [/mm] : X= [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
Basis von [mm] \IR^4 [/mm] : Y= [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
[mm] f(\vektor{0 \\ 0 \\ 1 }) [/mm] = 1 * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] + 3 * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] + 8 * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 }) [/mm] = [mm] \vektor{8 \\ 3 \\ 1 }) [/mm]
[mm] f(\vektor{0 \\ 1 \\ 0 }) [/mm] = 2 * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] + 7 * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] + 4 * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 }) [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 7 \\ 2 })
[/mm]
[mm] f(\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }) [/mm] = 5 * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] + 1 * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] + 9 * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 }) [/mm] = [mm] \vektor{9 \\ 1 \\ 5 }) [/mm]
Jetzt weiß ich allerdings nicht wie ich einen Vektor aus dem 3-dimensionalen über einer 4-dimensionalen Basis darstellen kann
[mm] \vektor{8 \\ 3 \\ 1 }) [/mm] = a * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] + b * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] + c * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + d * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] = ?
Wäre toll, wenn man mir weiterhelfen würde!
MFG
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Hallo nochmal,
> Hallo!
> Also, ich habe mir deine Antwort durchgelesen, sie aber
> zuerst nicht richtig verstanden und dazu hatte ich noch
> einen Zahlendreher darin...!
> Ich würde mir ja kaum den Umstand machen mir eine Aufgabe
> auszudenken, wenn ich es mit dem Thema nicht ernst meinen
> würde.
>
> Also zu der Ursprungsaufgabe:
> [mm]f(\vektor{1 \\ 0})[/mm] = 1* [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] + 3* [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm]
Du musst doch das Bild des ersten Basisvektors der Basis X des Urbildraumes unter f abbilden.
Das gibt gem. der Abbildungsvorschrift: [mm] $f\vektor{x\\y}=\vektor{x+2y\\3x+4y}$ [/mm] doch
[mm] $f\vektor{1\\0}=\vektor{1+2\cdot{}0\\3\cdot{}1+4\cdot{}0}=\vektor{1\\3}$
[/mm]
Und dieses Bild (diesen Bildvektor) musst du als LK der Basisvektoren der (geordneten (!)) Basis des Zielraumes, also von Y, darstellen.
Also [mm] $\vektor{1\\3}=a\cdot{}\vektor{0\\1}+b\cdot{}\vektor{1\\0}$
[/mm]
Du hast es genau andersherum aufgeschrieben ...
Wenn du das LGS rechterhand löst (durch Hinsehen), so ergibt sich $a=3, b=1$
Diesen Koeffizientenvektor [mm] $\vektor{a\\b}=\vektor{3\\1}$ [/mm] stopfst du nun als erste Spalte in die Darstellungsmatrix von f bzgl. der Basen X und Y
Die zweite Spalte ergibt sich dann analog, wenn du das Bild des zweiten Basisvektors aus X betrachtest
[mm] $f\vektor{0\\1}=\vektor{2\\4}$
[/mm]
Das wieder als LK der Basisvektoren aus Y darstellen:
[mm] $\vektor{2\\4}=a\cdot{}\vektor{0\\1}+b\cdot{}\vektor{1\\0}$
[/mm]
gibt $a=4,b=2$, also als 2.Spalte den Koeffizientenvektor [mm] $\vektor{a\\b}=\vektor{4\\2}$
[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 3}[/mm]
> [mm]f(\vektor{0 \\ 1})[/mm] = 2* [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> + 4* [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 4}[/mm]
> Die über die Basis
> Y dargestellt ergibt:
Aha, ab hier wird's richtig.
Aber nach welcher Vorschrift hast du denn dann [mm] $f\vektor{1\\0}$ [/mm] und [mm] $f\vektor{0\\1}$ [/mm] berechnet?
Das erschließt sich mir nicht ...
> [mm]\vektor{1 \\ 3 }[/mm] = a * [mm]\vektor{0 \\ 1 }[/mm] + b * [mm]\vektor{ 1 \\ 0 }[/mm]
> => a=3 [mm]\wedge[/mm] b=1 => [mm]\vektor{ 3 \\ 1 }[/mm] Als
> Koeffizientenspaltenvektor
> [mm]\vektor{2 \\ 4}[/mm] = c * [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] + d * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> => c=4 [mm]\wedge[/mm] d=2 => [mm]\vektor{4 \\ 2}[/mm] Als
> Koeffizientenspaltenvektor
> und diese fügen sich dann zu [mm]A_{j,X,Y}[/mm] = [mm]\pmat{ 3 & 4 \\ 1 & 2 }[/mm]
> zusammen. Ist die Vorgehensweise so richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") der letzte Teil stimmt jedenfalls, bleibt die Frage, wie du die Bilder f(..) berechnet hast ...
>
> Nun meine selbst erdachte Aufgabe:
> f: [mm]\IR^3 \to \IR^4[/mm] , f(x,y,z) = (1x+2y+5z , 3x+7y+1z ,
> 8x+4y+9z)
Wie, wo was?
Von wo nach wo bildet die Funktion ab?
So, wie es dasteht, ist das ne Abbildung von [mm] $\IR^3\to\IR^3$
[/mm]
> Basis von [mm]\IR^3[/mm] : X= [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 }[/mm] , [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 }[/mm]
> , [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
> Basis von [mm]\IR^4[/mm] : Y= [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
> , [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 }[/mm] , [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
> , [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> [mm]f(\vektor{0 \\ 0 \\ 1 })[/mm] = 1 * [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 }[/mm] + 3 * [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 }[/mm] + 8 * [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 })[/mm] = [mm]\vektor{8 \\ 3 \\ 1 })[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Spätestens hier sollten alle Alarmglocken klingeln.
Du sagst, dass du ne Abb. von [mm] $\IR^3\to\IR^4$ [/mm] gegeben hast und berechnest munter als Bild einen Vektor mit 3 Komponenten.
Wie willst du sowas als LK von Vektoren mit 4 Komponenten darstellen??
Außerdem ist die Berechnung des Bildes grottenfalsch, ich weiß gar nicht was du da machst...
Erkläre das bitte mit ein paar Worten mal, was sind das für vom Himmel gefallene Koeffizienten, die du da einfach hinballerst??
Wieso benutzt du die Abbildungsvorschrift zur Berechnung des Bildes von [mm] $\vektor{0\\0\\1}$ [/mm] nicht?
Wozu gibst du die sonst an????
Es ist doch [mm] $f\vektor{0\\0\\1}=\vektor{1\cdot{}0+2\cdot{}0+5\cdot{}1\\3\cdot{}0+7\cdot{}0+1\cdot{}1\\8\cdot{}0+4\cdot{}0+9\cdot{}1}=\vektor{5\\1\\9}$
[/mm]
Und dieses Bild müsstest du nun als LK der Basisvektoren einer Basis Y des Zielraumes darstellen.
Die Koeffizienten, die in dieser LK auftreten, stopfst du dann als erste Spalte in die Darstellungsmatrix von f bzgl. der Basen X,Y
> [mm]f(\vektor{0 \\ 1 \\ 0 })[/mm] = 2 * [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 }[/mm] + 7 *
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 }[/mm] + 4 * [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 })[/mm] =
> [mm]\vektor{4 \\ 7 \\ 2 })[/mm]
> [mm]f(\vektor{1 \\ 0 \\ 0 })[/mm] = 5 *
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 }[/mm] + 1 * [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 }[/mm] + 9 *
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 })[/mm] = [mm]\vektor{9 \\ 1 \\ 5 })[/mm]
> Jetzt weiß ich allerdings nicht wie ich einen Vektor aus
> dem 3-dimensionalen über einer 4-dimensionalen Basis
> darstellen kann
> [mm]\vektor{8 \\ 3 \\ 1 })[/mm] = a * [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }[/mm] +
> b * [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 }[/mm] + c * [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
> + d * [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm] = ?
>
> Wäre toll, wenn man mir weiterhelfen würde!
Ich hoffe, nun klickt es ...
> MFG
>
>
Gruß
schachuzipus
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Hallo!
Okay, ich hoffe ich habe es jetzt endlich verstanden...
f(x,y,z) = (1x+2y+5z , 3x+7y+1z , 8x+4y+9z , 4x+6y+3z)
Abbildung von [mm] \IR^3 \to \IR^4
[/mm]
Basis X von [mm] \IR^3: \vektor{0 \\ 0 \\1} \vektor{0 \\ 1 \\0} \vektor{1 \\ 0 \\0}
[/mm]
Basis Y von [mm] \IR^4: \vektor{0 \\ 0 \\0 \\1} \vektor{0 \\ 0 \\1 \\0} \vektor{0 \\ 1 \\0 \\0} \vektor{1 \\ 0 \\0 \\0}
[/mm]
[mm] f(\vektor{0 \\ 0 \\1}) [/mm] = [mm] \pmat{ 1*0 & 2*0 & 5*1 \\ 3*0 & 7*0 & 1*1 \\ 8*0 & 4*0 & 9*1 \\ 4*0 & 6*0 & 3*1 } [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 1 \\9 \\3}
[/mm]
Und dann [mm] f(\vektor{0 \\ 1 \\0}) [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 7 \\4 \\6} [/mm] , [mm] f(\vektor{1 \\ 0 \\0}) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 8 \\4}
[/mm]
Dargestellt über die Basis Y ergibt sich dann
[mm] f(\vektor{0 \\ 0 \\1}) [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 1 \\9 \\3} [/mm] = [mm] 3*\vektor{0 \\ 0 \\0 \\1} [/mm] + [mm] 9*\vektor{0 \\ 0 \\1 \\0} [/mm] + [mm] 1*\vektor{0 \\ 1 \\0 \\0} [/mm] + 5* [mm] \vektor{1 \\ 0 \\0 \\0}
[/mm]
Daraus ergibt isch das Keoffiziententupel [mm] \vektor{3 \\ 9 \\1 \\5}
[/mm]
und die anderen sind dann [mm] \vektor{6 \\ 4 \\7 \\2} [/mm] und [mm] \vektor{4 \\ 8 \\3 \\1}
[/mm]
und daraus ergibt sich dann die darstellungsmatrix [mm] A_{f,X,Y} [/mm] = [mm] \pmat{ 3 & 6 & 4 \\ 9 & 4 & 8 \\ 1 & 7 & 3 \\ 5 & 2 & 1 }
[/mm]
Ist es so richtig?
Vielen, vielen Dank!!!!
MFG
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Hallo nochmal,
> Hallo!
> Okay, ich hoffe ich habe es jetzt endlich verstanden...
> f(x,y,z) = (1x+2y+5z , 3x+7y+1z , 8x+4y+9z , 4x+6y+3z)
> Abbildung von [mm]\IR^3 \to \IR^4[/mm]
> Basis X von [mm]\IR^3: \vektor{0 \\ 0 \\1} \vektor{0 \\ 1 \\0} \vektor{1 \\ 0 \\0}[/mm]
>
> Basis Y von [mm]\IR^4: \vektor{0 \\ 0 \\0 \\1} \vektor{0 \\ 0 \\1 \\0} \vektor{0 \\ 1 \\0 \\0} \vektor{1 \\ 0 \\0 \\0}[/mm]
>
> [mm]f(\vektor{0 \\ 0 \\1})[/mm] = [mm]\pmat{ 1*0 & 2*0 & 5*1 \\ 3*0 & 7*0 & 1*1 \\ 8*0 & 4*0 & 9*1 \\ 4*0 & 6*0 & 3*1 }[/mm]
> = [mm]\vektor{5 \\ 1 \\9 \\3}[/mm]
> Und dann [mm]f(\vektor{0 \\ 1 \\0})[/mm]
> = [mm]\vektor{2 \\ 7 \\4 \\6}[/mm] , [mm]f(\vektor{1 \\ 0 \\0})[/mm] =
> [mm]\vektor{1 \\ 3 \\ 8 \\4}[/mm]
> Dargestellt über die Basis Y
> ergibt sich dann
> [mm]f(\vektor{0 \\ 0 \\1})[/mm] = [mm]\vektor{5 \\ 1 \\9 \\3}[/mm] =
> [mm]3*\vektor{0 \\ 0 \\0 \\1}[/mm] + [mm]9*\vektor{0 \\ 0 \\1 \\0}[/mm] +
> [mm]1*\vektor{0 \\ 1 \\0 \\0}[/mm] + 5* [mm]\vektor{1 \\ 0 \\0 \\0}[/mm]
>
> Daraus ergibt isch das Keoffiziententupel [mm]\vektor{3 \\ 9 \\1 \\5}[/mm]
>
> und die anderen sind dann [mm]\vektor{6 \\ 4 \\7 \\2}[/mm] und
> [mm]\vektor{4 \\ 8 \\3 \\1}[/mm]
> und daraus ergibt sich dann die
> darstellungsmatrix [mm]A_{f,X,Y}[/mm] = [mm]\pmat{ 3 & 6 & 4 \\ 9 & 4 & 8 \\ 1 & 7 & 3 \\ 5 & 2 & 1 }[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Ja, super, alles bestens, du hast es geschnallt 
>
> Ist es so richtig?
Aber sowas von richtig!
> Vielen, vielen Dank!!!!
Jo, gerne
> MFG
Gruß
schachuzipus
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