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A^{-1/2} berechnen ?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:45 Fr 24.04.2009
Autor: Tobus

Aufgabe
Gegeben sind die Vektoren [mm] b1=\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, b2=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -1}, b3=\vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 1} [/mm]

a) Bestimmen sie [mm] A^{-0,5} [/mm] für die Matrix A, deren Elemente durch [mm] A_{ij}=bi*bj [/mm] i,j [mm] \in [/mm] {1,2,3} gegeben sind

b) Zeige dass die Vektoren [mm] b_{i}=\summe_{j=1}^{3} (A^{-0,5}_{ij} [/mm] * [mm] b_{j} [/mm] i [mm] \in [/mm] {1,2,3}

Hallo,
das erste Problem ist ich hab keine Ahnung wie ich [mm] A^{-0,5} [/mm] berechnen kann.
Vllt könnt ihr mir ja da helfen ?

DANKE

        
Bezug
A^{-1/2} berechnen ?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:23 Fr 24.04.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Gegeben sind die Vektoren [mm]b1=\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, b2=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -1}, b3=\vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>  
> a) Bestimmen sie [mm]A^{-0,5}[/mm] für die Matrix A, deren Elemente
> durch [mm]A_{ij}=bi*bj[/mm] i,j [mm]\in[/mm] {1,2,3} gegeben sind
>  
> b) Zeige dass die Vektoren [mm]b_{i}=\summe_{j=1}^{3} (A^{-0,5}_{ij}[/mm]
> * [mm]b_{j}[/mm] i [mm]\in[/mm] {1,2,3}
>
>  Hallo,
>  das erste Problem ist ich hab keine Ahnung wie ich
> [mm]A^{-0,5}[/mm] berechnen kann.
>  Vllt könnt ihr mir ja da helfen ?

Nun:

1) Matrix $A$ berechnen

2) Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen

3) Matrix diagonalisieren

4) Ist $D$ die Diagonalmatrix, dann berechne [mm] $D^{-0.5}$ [/mm] -- weisst du wie das geht?

5) Transformiere das Ergebnis zurueck mit der Transformationsmatrix vom Diagonalisieren

LG Felix


Bezug
                
Bezug
A^{-1/2} berechnen ?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:18 So 26.04.2009
Autor: Tobus

Hallo,
vielen Dank schonmal für die Antwort, hat mir ziemlich geholfen.
Nun habe ich noch ne Frage, laut Lösung ist die Matrix A eine 3x3. Wie komme ich auf die ?

DANKE

Bezug
                        
Bezug
A^{-1/2} berechnen ?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:27 So 26.04.2009
Autor: leduart

Hallo
die [mm] a_{ij} [/mm] sind doch in der aufgabe gegeben, du musst nur ein paar skalarprodukte ausrechnen.
gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
A^{-1/2} berechnen ?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:52 So 26.04.2009
Autor: Tobus

Ahh ok dann hier mal was:

1) Matrix A berechnen
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 } [/mm]

2) Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen
Eigenwerte: (1, 1, 3)

3) Matrix diagonalisieren
Die Diagonalmatrix ist doch die Einheitsmatrix mit den Eigenwerten, richtig ?
D = [mm] \pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3} [/mm]

4) Ist D die Diagonalmatrix, dann berechne $ [mm] D^{-0.5} [/mm] $ -- weisst du wie das geht?

Hier weiß ich nicht mehr weiter

Bezug
                                        
Bezug
A^{-1/2} berechnen ?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:35 Mo 27.04.2009
Autor: felixf

Hallo!

> 3) Matrix diagonalisieren
>  Die Diagonalmatrix ist doch die Einheitsmatrix mit den
> Eigenwerten, richtig ?
>  D = [mm]\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3}[/mm]
>  
> 4) Ist D die Diagonalmatrix, dann berechne [mm]D^{-0.5}[/mm] --
> weisst du wie das geht?

Hast du dir mal Angelas Antwort durchgelesen? Versuche erstmal eine Matrix $B$ zu finden mit [mm] $B^2 [/mm] = D$. Und dann bestimme [mm] $B^{-1}$. [/mm]

Tipp: nimm an dass $B$ eine Diagonalmatrix ist.

LG Felix


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Bezug
A^{-1/2} berechnen ?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:54 Mo 27.04.2009
Autor: Tobus

Danke habs ;)

Bezug
        
Bezug
A^{-1/2} berechnen ?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:04 Fr 24.04.2009
Autor: angela.h.b.


> a) Bestimmen sie [mm]A^{-0,5}[/mm] für die Matrix A, deren Elemente
> durch [mm]A_{ij}=bi*bj[/mm] i,j [mm]\in[/mm] {1,2,3} gegeben sind

>  das erste Problem ist ich hab keine Ahnung wie ich
> [mm]A^{-0,5}[/mm] berechnen kann.

Hallo,

zunächst einmal muß man sich klarmachen, was mit [mm] A^{-0,5} [/mm] gemeint ist:

das Inverse von [mm] A^{0,5}. [/mm] Man kann das also nur berechnen, wenn [mm] A^{0.5} [/mm] ein inverses hat.

Dann muß man drüber nachdenken, was [mm] A^{0,5} [/mm] sein soll: das ist die Matrix, die mit  sich selbst multipliziert A ergibt.

Wire man sie findet, hat Dir Felix erklärt.

Gruß v. Angela

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