AWP; y''(t)+y(t)=0 < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien a [mm] \in \IR^{+}. [/mm] Suchen Sie eine Funktion y: [0,a] [mm] \to \IR, [/mm] die das AWP y''(t)+y(t)=0, y(0)=0, y'(0)=0 genügt.
Tipp: Überführung in ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Fixpunktiteration. |
Hallo, ich weiss leider gar nicht wie ich anfangen soll.
Aus der Physik weiss ich, dass man mit einem Ansatz y(t)=c sin(t)+d cos(t) das lösen kann. Nämlich y(t)=0.
Aber nun will/soll ich das "mathematisch" betrachten.
Dazu muss ich als erstes das AWP in ein System von Differentialgleichungen überführen. Da ist schon mein erste Problem. Was ist damit gemeint?
Wenn ich das aus meinem Script richtig interpretiere, muss ich etwas in dieser Form machen:
[mm] Y(t)=\vektor{y \\ y'}.
[/mm]
Daraus folgt dann [mm] Y'(t)=\vektor{y' \\ y''}=\vektor{y' \\ -y'(t)}=\vektor{Y_{2} \\ g(t,Y_{1}(t))}.
[/mm]
Weil gilt [mm] g(t,Y_{1}(t))=-y'(t), [/mm] hängt das g doch nur von [mm] Y_{1}(t) [/mm] ab. Also [mm] g(t,Y_{1}(t))=g(Y_{1}(t)) [/mm] richtig?
Ist also meine Differentialgleichung mit der ich arbeiten soll [mm] Y'(t)=g(Y_{1}(t))=g(y(t))?
[/mm]
Falls, ja, wie mache ich nun weiter?
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Hallo carlosfritz,
> Seien a [mm]\in \IR^{+}.[/mm] Suchen Sie eine Funktion y: [0,a] [mm]\to \IR,[/mm]
> die das AWP y''(t)+y(t)=0, y(0)=0, y'(0)=0 genügt.
> Tipp: Überführung in ein System von gewöhnlichen
> Differentialgleichungen. Fixpunktiteration.
>
> Hallo, ich weiss leider gar nicht wie ich anfangen soll.
>
> Aus der Physik weiss ich, dass man mit einem Ansatz y(t)=c
> sin(t)+d cos(t) das lösen kann. Nämlich y(t)=0.
>
> Aber nun will/soll ich das "mathematisch" betrachten.
>
> Dazu muss ich als erstes das AWP in ein System von
> Differentialgleichungen überführen. Da ist schon mein
> erste Problem. Was ist damit gemeint?
Durch bestimmte Substitutionen wird die DGL 2. Ordnung
in ein System von DGLn 1.Ordnung überführt.
>
> Wenn ich das aus meinem Script richtig interpretiere, muss
> ich etwas in dieser Form machen:
>
> [mm]Y(t)=\vektor{y \\ y'}.[/mm]
>
> Daraus folgt dann [mm]Y'(t)=\vektor{y' \\ y''}=\vektor{y' \\ -y'(t)}=\vektor{Y_{2} \\ g(t,Y_{1}(t))}.[/mm]
Hier muss es doch heißen:
[mm]Y'(t)=\vektor{y' \\ y''}=\vektor{\blue{y} \\ -y'(t)}[/mm]
> Weil gilt [mm]g(t,Y_{1}(t))=-y'(t),[/mm] hängt das g doch nur von
> [mm]Y_{1}(t)[/mm] ab. Also [mm]g(t,Y_{1}(t))=g(Y_{1}(t))[/mm] richtig?
>
> Ist also meine Differentialgleichung mit der ich arbeiten
> soll [mm]Y'(t)=g(Y_{1}(t))=g(y(t))?[/mm]
>
> Falls, ja, wie mache ich nun weiter?
Schau Dir mal das an:![[]](/images/popup.gif) Picard-Iteration
Gruss
MathePower
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Hallo und danke
>
> Wenn ich das aus meinem Script richtig interpretiere, muss
> ich etwas in dieser Form machen:
>
> [mm]Y(t)=\vektor{y \\ y'}.[/mm]
>
> Daraus folgt dann [mm]Y'(t)=\vektor{y' \\ y''}=\vektor{y' \\ -y'(t)}=\vektor{Y_{2} \\ g(t,Y_{1}(t))}.[/mm]
>Hier muss es doch heißen:
>[mm]Y'(t)=\vektor{y' \\ y''}=\vektor{\blue{y} \\ -y'(t)}[/mm]
hmm, also im meinem Script seht allgemein:
[mm] Y'(t)=\vektor{y'(t) \\ y''(t) \\ ... \\ y^{(m)}(t)}. [/mm] Also hier [mm] ]Y'(t)=\vektor{y' \\ y''}=\vektor{ y'(t) \\ -y(t)} [/mm] denn aus y''(t)+y(t)=0 , dass y''(t)=-y(t). (Hatte mich vorhin getäuscht...)
Das müsste dann doch jetzt aber stimmen oder?
>Schau Dir mal das an:Picard-Iteration
okay, eigendlich ist es dann ja jetzt nur noch einsetzen, aber das schaffe ich irgendwie nicht.
oder ist es gar so einfach:
x'(t)=f(t,x(t)) wäre in diesem Fall:
y'(t)=-y(t). ?
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Hallo carlosfritz,
> Hallo und danke
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> >
> > Wenn ich das aus meinem Script richtig interpretiere, muss
> > ich etwas in dieser Form machen:
> >
> > [mm]Y(t)=\vektor{y \\ y'}.[/mm]
> >
> > Daraus folgt dann [mm]Y'(t)=\vektor{y' \\ y''}=\vektor{y' \\ -y'(t)}=\vektor{Y_{2} \\ g(t,Y_{1}(t))}.[/mm]
>
>
> >Hier muss es doch heißen:
>
> >[mm]Y'(t)=\vektor{y' \\ y''}=\vektor{\blue{y} \\ -y'(t)}[/mm]
>
> hmm, also im meinem Script seht allgemein:
> [mm]Y'(t)=\vektor{y'(t) \\ y''(t) \\ ... \\ y^{(m)}(t)}.[/mm] Also
> hier [mm]]Y'(t)=\vektor{y' \\ y''}=\vektor{ y'(t) \\ -y(t)}[/mm]
> denn aus y''(t)+y(t)=0 , dass y''(t)=-y(t). (Hatte mich
> vorhin getäuscht...)
>
> Das müsste dann doch jetzt aber stimmen oder?
>
Ja, das stimmt.
>
>
>
> >Schau Dir mal das
> an:Picard-Iteration
>
> okay, eigendlich ist es dann ja jetzt nur noch einsetzen,
> aber das schaffe ich irgendwie nicht.
Besser ist die folgende Substitution:
[mm]y_{1}=y[/mm]
[mm]y_{2}=y'=y_{1}^{'}[/mm]
Dann ergibt sich:
[mm]y_{1} ^{'}=y_{2}[/mm]
[mm]y_{2}^{'}=-y_{1}[/mm]
In Matrix-Vektor-Schreibweise lautet dies dann:
[mm]\pmat{y_{1}^{'} \\ y_{2}^{'} } = \pmat{0 & 1 \\ -1 & 0}\pmat{y_{1} \\ y_{2}}[/mm]
Jetzt ist es wirklich nur noch einsetzen.
>
> oder ist es gar so einfach:
>
> x'(t)=f(t,x(t)) wäre in diesem Fall:
> y'(t)=-y(t). ?
>
Nein, so einfach ist das nicht.
Gruss
MathePower
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Besser ist die folgende Substitution:
[mm]y_{1}=y[/mm]
[mm]y_{2}=y'=y_{1}^{'}[/mm]
Dann ergibt sich:
[mm]y_{1} ^{'}=y_{2}[/mm]
[mm]y_{2}^{'}=-y_{1}[/mm]
In Matrix-Vektor-Schreibweise lautet dies dann:
[mm]\pmat{y_{1}^{'} \\ y_{2}^{'} } = \pmat{0 & 1 \\ -1 & 0}\pmat{y_{1} \\ y_{2}}[/mm]
Jetzt ist es wirklich nur noch einsetzen.
Und ich kann es einfach nicht. Brett vorm Kopf? Bitte verzeih, aber es ist das erste mal, das ich so etwas mache.
ich weiss einfach nicht, was meine x'(t) und meine f(t,x(t)) hier in diesem Beispiel sind. Ich kann es einfach nicht übertragen.
Ich vermute der erste Schritt ist so, bin mir aber so unsicher, dass ich sagen würde es ist geraten ;)
y'(t)= [mm] 0+\integral_{0}^{T}{y(t) dt}=0+(-y'(T)+y'(0))
[/mm]
2. Schritt wäre dann
y''(t)= 0+ [mm] \integral_{0}^{T}{y'(t)dt}=-y(T)
[/mm]
3.Schritt:
[mm] x^{(3)}=0+\integral_{0}^{T}{y''(t) dt}= [/mm] -y'(T)
Das kann doch gar nicht richtig sein?!
Magst du mir vielleicht die ersten beiden Schritte mal hinschreiben?
Dass ich zu mindest mal das System verstehe?
Das wäre furchtbar nett. Ich sehe da sonst keinen Boden mehr...
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Hallo carlosfritz,
> Besser ist die folgende Substitution:
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> [mm]y_{1}=y[/mm]
>
> [mm]y_{2}=y'=y_{1}^{'}[/mm]
>
> Dann ergibt sich:
>
> [mm]y_{1} ^{'}=y_{2}[/mm]
>
> [mm]y_{2}^{'}=-y_{1}[/mm]
>
> In Matrix-Vektor-Schreibweise lautet dies dann:
>
> [mm]\pmat{y_{1}^{'} \\ y_{2}^{'} } = \pmat{0 & 1 \\ -1 & 0}\pmat{y_{1} \\ y_{2}}[/mm]
>
> Jetzt ist es wirklich nur noch einsetzen.
>
>
> Und ich kann es einfach nicht. Brett vorm Kopf? Bitte
> verzeih, aber es ist das erste mal, das ich so etwas
> mache.
>
>
> ich weiss einfach nicht, was meine x'(t) und meine
> f(t,x(t)) hier in diesem Beispiel sind. Ich kann es einfach
> nicht übertragen.
>
> Ich vermute der erste Schritt ist so, bin mir aber so
> unsicher, dass ich sagen würde es ist geraten ;)
> y'(t)= [mm]0+\integral_{0}^{T}{y(t) dt}=0+(-y'(T)+y'(0))[/mm]
>
> 2. Schritt wäre dann
> y''(t)= 0+ [mm]\integral_{0}^{T}{y'(t)dt}=-y(T)[/mm]
>
> 3.Schritt:
> [mm]x^{(3)}=0+\integral_{0}^{T}{y''(t) dt}=[/mm] -y'(T)
>
> Das kann doch gar nicht richtig sein?!
>
>
> Magst du mir vielleicht die ersten beiden Schritte mal
> hinschreiben?
> Dass ich zu mindest mal das System verstehe?
>
> Das wäre furchtbar nett. Ich sehe da sonst keinen Boden
> mehr...
>
Mit der Picard-Iteration ergibt sich:
[mm]\pmat{y_{1,k+1}\left(t\right) \\ y_{2,k+1}\left(t\right) } = \pmat{y_{1,0} \\ y_{2,0} }+\integral_{0}^{t}\pmat{0 & 1 \\ -1 & 0}\pmat{y_{1,k}\left(s\right) \\ y_{2,k}\left(s\right) } } \ ds, \ k \in \IN[/mm]
mit [mm]y_{1,0}\left(t\right)=y_{1}\left(0\right)=0, \ y_{2,0}\left(t\right)=y_{2}\left(0\right)=0[/mm]
Daher ist das gleichbedeutend mit
[mm]\pmat{y_{1,k+1}\left(t\right) \\ y_{2,k+1}\left(t\right) } = \integral_{0}^{t}\pmat{0 & 1 \\ -1 & 0}\pmat{y_{1,k}\left(s\right) \\ y_{2,k}\left(s\right) } } \ ds, \ k \in \IN[/mm]
Gruss
MathePower
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Vielen Dank.
Ich musste noch kurz überlegen, wie die Reihe denn konvergieren soll..... aber da bleibt dann nur eine Möglichkeit über :)
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