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| Aufgabe | Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem mit Hilfe der Laplace-Transformation:
[mm] y''+2y'-8y=-256t^{3} [/mm] y(0)=15 y'(0)=36 |
Guten Abend,
die rechte Seite macht mir irgendwie zu schaffen.
[mm] (s^{2}+2s-8)y-(s+2)*15-36 [/mm] = [mm] -256*\bruch{6}{s^{4}}
[/mm]
[mm] y=(-256*\bruch{6}{s^{4}})* (\bruch{15s+66}{s^{2}+2s-8})
[/mm]
ist das soweit korrekt?
Wie mache ich jetzt weiter?
Kann ich hier mit Multiplikation im Bildbereich = Faltung im Zeitbereich weiter machen?
Oder geht es irgendwie einfacher?
Grüße Daniel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo schlimmer_finger,
> Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem mit Hilfe der
> Laplace-Transformation:
>
> [mm]y''+2y'-8y=-256t^{3}[/mm] y(0)=15 y'(0)=36
> Guten Abend,
> die rechte Seite macht mir irgendwie zu schaffen.
>
> [mm](s^{2}+2s-8)y-(s+2)*15-36[/mm] = [mm]-256*\bruch{6}{s^{4}}[/mm]
>
> [mm]y=(-256*\bruch{6}{s^{4}})* (\bruch{15s+66}{s^{2}+2s-8})[/mm]
>
> ist das soweit korrekt?
Ja, das ist korrekt.
>
> Wie mache ich jetzt weiter?
> Kann ich hier mit Multiplikation im Bildbereich = Faltung
> im Zeitbereich weiter machen?
> Oder geht es irgendwie einfacher?
Üblicherweise ist jetzt eine Partialbruchzerlegung angesagt.
>
> Grüße Daniel
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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die Partialbruchzerlegung des hinteren Teils ist ja recht simpel. Wie bringe ich das mit dem dem vorderen Teil zusammen? Lautet:
[mm] \bruch{16}{s-2}-\bruch{1}{s+4}
[/mm]
Wenn ich das zuerst ausmultipliziere habe ich ja nen ziemlichen Brocken, von dem ich ja schlecht die Nullstellen bestimmen kann.
Danke Euche
Grüße Daniel
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Hallo schlimmer_finger,
> die Partialbruchzerlegung des hinteren Teils ist ja recht
> simpel. Wie bringe ich das mit dem dem vorderen Teil
> zusammen? Lautet:
> [mm]\bruch{16}{s-2}-\bruch{1}{s+4}[/mm]
>
Nun, ein weiterer Koeffizient läßt sich noch auf diese Weise ermitteln.
>
> Wenn ich das zuerst ausmultipliziere habe ich ja nen
> ziemlichen Brocken, von dem ich ja schlecht die Nullstellen
> bestimmen kann.
Mit dem Zähler des Brockens führst Du dann einen Koeffizientenvergleich durch.
>
> Danke Euche
> Grüße Daniel
Gruß
MathePower
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ich verste nicht, wo ich noch einen Koeffizient herbekommen soll? Die Nullstellen meines vorderen Ausdrucks sind ja nicht reel.
Grüße
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Hallo schlimmer_finger,
> ich verste nicht, wo ich noch einen Koeffizient herbekommen
> soll? Die Nullstellen meines vorderen Ausdrucks sind ja
> nicht reel.
>
Nun die Partialbruchzerlegung lautet ja:
[mm]\bruch{\alpha*s+\beta}{s^{4}*\left(s^{2}+2s-8\right)}=\bruch{A}{s}+\bruch{B}{s^{2}}+\bruch{C}{s^{3}}+\bruch{D}{s^{4}}+\bruch{E}{s-2}+\bruch{F}{s+4}[/mm]
Das ergibt dann, mit dem Hauptnenner durchmultipliziert:
[mm]\alpha*s+\beta=[/mm]
[mm]A*s^{3}*\left(s-2\right)*\left(s+4\right)+B*s^{2}*\left(s-2\right)*\left(s+4\right)[/mm]
[mm]+C*s*\left(s-2\right)*\left(s+4\right)+D*\left(s-2\right)*\left(s+4\right)[/mm]
[mm]+E*s^{4}*\left(s+4\right)+F*s^{4}*\left(s-2\right)[/mm]
Die Koeffizienten E, F bekommst Du durch einsetzen von s=2 bzw. s=-4.
Und den Koeffizienten D bekommst Du durch Einsetzen von s=0.
Damit bleiben noch 3 zu bestimmende Koeffiziente übrig.
> Grüße
Gruß
MathePower
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