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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - AWP Nr. 3
AWP Nr. 3 < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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AWP Nr. 3: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:13 Mi 30.06.2010
Autor: Mija

Aufgabe
Lösen Sie das Anfangswertproblem

$y'(t) = [mm] \bruch{t+y(t)-1}{2-t-y(t)}, [/mm] y(0)=1$

Vermute ich richtig, dass es sich um eine Jacobische DGL handelt?
Wenn ja, wie sieht diese dann in der Jacobischen Darstellung aus??

        
Bezug
AWP Nr. 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:28 Mi 30.06.2010
Autor: MathePower

Hallo Mija,

> Lösen Sie das Anfangswertproblem
>  
> [mm]y'(t) = \bruch{t+y(t)-1}{2-t-y(t)}, y(0)=1[/mm]
>  Vermute ich
> richtig, dass es sich um eine Jacobische DGL handelt?


Das ist richtig.


>  Wenn ja, wie sieht diese dann in der Jacobischen
> Darstellung aus??


[mm]y'(t) = \bruch{t+y(t)-1}{-t-y(t)-2}[/mm]


Diese DGL kannst Du mit Hilfe einer Substitution lösen.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
AWP Nr. 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:06 Mi 30.06.2010
Autor: Mija

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Kann ich dann sagen $y'(t) = f(\bruch{at+by(t)+c}{\alpha * t + \beta * y(t) + \gamma}) = \bruch{f({at+by(t)+c})}{f({\alpha * t + \beta * y(t) + \gamma})$
?

Also $u(t) = t+y(t)$
$u'(t)=1+u(t)$
$u(t_0)=t_0 + y_0 -1$

Was ist dann mit dem Nenner??

Bezug
                        
Bezug
AWP Nr. 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:15 Mi 30.06.2010
Autor: MathePower

Hallo Mija,

> Kann ich dann sagen [mm]y'(t) = f(\bruch{at+by(t)+c}{\alpha * t + \beta * y(t) + \gamma}) = \bruch{f({at+by(t)+c})}{f({\alpha * t + \beta * y(t) + \gamma})[/mm]
>  
> ?
>  
> Also [mm]u(t) = t+y(t)[/mm]
>  [mm]u'(t)=1+u(t)[/mm]
>  [mm]u(t_0)=t_0 + y_0 -1[/mm]
>  
> Was ist dann mit dem Nenner??


Auf den Nenner kannst Du dieselbe Substitution verwenden,
da die Gerade im Zähler und Nenner parallel sind.

[mm]-t-y\left(t\right)-2=\alpha*\left( \ t+y\left(t\right) \ \right)+\beta[/mm]


Gruss
MathePower

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Bezug
AWP Nr. 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:07 Mi 30.06.2010
Autor: Mija

Ich habe dann $y(t) = [mm] e^{t} [/mm] + [mm] y_0$ [/mm] raus, allerdings nur für den Zähler..

Muss sich eine Lösung für den Zähler und eine für den nenner ergeben und siese muss man dann zusammenfügen, oder haut man alles in eine Berechnung??

Ich komme irgendwie auf keinen grünen Zweig.

Bezug
                                        
Bezug
AWP Nr. 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:25 Do 01.07.2010
Autor: leduart

Hallo
was soll denn ne Lösung "nur für den Zähler "?
wenn du ne gewöhnliche Gleichung hättest , denkst du dann auch dass ne Lösung nur für den Zähler, was immer das auch bedeutet sinnvoll ist?
[mm] (x/(1-x^2)=2 [/mm]  Lösung nur für den Zähler x=2 ???)
schreib erstmal deine Dgl für u hin.
Gruss leduart

Bezug
                                                
Bezug
AWP Nr. 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:26 Do 01.07.2010
Autor: Mija

[mm] $\bruch{u-1}{-u+2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2-u} [/mm] - 1$

Wenn ich mich nicht irre, ist dies aber keine lineare DGL, die eigentlich rauskommen soll.
Daher weiß ich nicht, was ich jetzt machen soll.

Bezug
                                                        
Bezug
AWP Nr. 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:35 Do 01.07.2010
Autor: fred97


> [mm]\bruch{u-1}{-u+2} = \bruch{1}{2-u} - 1[/mm]
>  
> Wenn ich mich nicht irre, ist dies aber keine lineare DGL,


Was oben steht ist überhaupt keine DGL !!!!


> die eigentlich rauskommen soll.
>  Daher weiß ich nicht, was ich jetzt machen soll.


Richtig rechnen !! Mit $u(t)=t+y(t)$  ergibt sich $u'= 1+y'$, also $y'= u'-1$.

Somit erhälst Du das AWP

                     $u'= [mm] \bruch{1}{2-u}$ [/mm] , $u(0)=1$

FRED



Bezug
                                                                
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AWP Nr. 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:32 Do 01.07.2010
Autor: Mija

Ok, dann kann ich das über Variablentrennung lösen und dann resubstituieren?

Bezug
                                                                        
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AWP Nr. 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Do 01.07.2010
Autor: fred97

Ja, mach mal

FRED

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