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| Aufgabe | Die horizontale Längsbewegung eines Fahrzeugs bei Vollgas lässt sich vereinfacht beschreiben durch das Anfangswertproblem:
[mm] m*\bruch{dv}{dt}=\alpha-\beta*v^{2}
[/mm]
[mm] V(0)=v_{0}
[/mm]
wobei m die Masse des Fahrzeuges und [mm] \alpha [/mm] > 0 , [mm] \beta [/mm] > 0 konstanten sind. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit v(t) für alle t>= 0 |
Wie kann ich hier vorgehen, mit bernoulli funktioniert es leider nicht. Reccati geht leider auch nicht, da [mm] \alpha [/mm] ja keine funktion ist.
für Hilfe bin ich dankbar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:58 Mo 16.05.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo,
> Reccati geht leider auch nicht, da [mm]\alpha[/mm] ja
> keine funktion ist.
Wieso das?
Es ist eben ein konstante Funktion, wenn man so will.
>
> für Hilfe bin ich dankbar
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo likenobody,
diese Riccati-DGL lässt sich in eine DGL 2. Ordnung umformen und aufgrund der konstanten Koeffizienten ist diese DGL sogar lösbar.
Viele Grüße,
Infinit
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Hier nun meine Rechnung mit Riccati und Bernoulli.
v'= [mm] \bruch{\alpha}{m}-\bruch{\beta*v^2}{m}
[/mm]
Spezielle Lösung durch erraten:
v = [mm] \phi [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}}
[/mm]
hieraus folgt dann:
[mm] m(\phi+u)'=\alpha-\beta(\phi+u)^2
[/mm]
[mm] (\phi+u)'= \bruch{\alpha}{m}-\bruch{\beta(\phi+u)^2}{m}
[/mm]
[mm] u´=-\phi+\bruch {\alpha}{m}-\bruch{\beta}{m}\phi^2-\bruch{\beta}{m}2\phi*u+\bruch{\beta}{m}u^2
[/mm]
hieraus folgt dann:
[mm] u'=-\bruch{\beta}{m}2\phi*u+\bruch{\beta}{m}u²
[/mm]
nach bernoulli folgt hieraus:
v'(t) + [mm] \bruch{\beta}{m}*2\phi*v(t)=\bruch{\beta}{m}
[/mm]
homogene LSG:
v'(t) + [mm] \bruch{\beta}{m}*2\phi*v(t)=0
[/mm]
....
u= [mm] \bruch{1}{e^-^\bruch{\beta}{m}^*^2^\phi^*^t^+^C}
[/mm]
...
ist die lsg bis hierhin korrekt?
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Hallo likenobody,
> Hier nun meine Rechnung mit Riccati und Bernoulli.
>
> v'= [mm]\bruch{\alpha}{m}-\bruch{\beta*v^2}{m}[/mm]
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> Spezielle Lösung durch erraten:
>
> v = [mm]\phi[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}}[/mm]
>
> hieraus folgt dann:
>
> [mm]m(\phi+u)'=\alpha-\beta(\phi+u)^2[/mm]
> [mm](\phi+u)'= \bruch{\alpha}{m}-\bruch{\beta(\phi+u)^2}{m}[/mm]
>
> [mm]u´=-\phi+\bruch {\alpha}{m}-\bruch{\beta}{m}\phi^2-\bruch{\beta}{m}2\phi*u+\bruch{\beta}{m}u^2[/mm]
Hier muss es doch lauten:
[mm]u'=-\phi+\bruch {\alpha}{m}-\bruch{\beta}{m}\phi^2-\bruch{\beta}{m}2\phi*u\blue{-}\bruch{\beta}{m}u^2[/mm]
>
> hieraus folgt dann:
> [mm]u'=-\bruch{\beta}{m}2\phi*u+\bruch{\beta}{m}u²[/mm]
[mm]u'=-\bruch{\beta}{m}2\phi*u\blue{-}\bruch{\beta}{m}u^{2}[/mm]
>
> nach bernoulli folgt hieraus:
>
> v'(t) + [mm]\bruch{\beta}{m}*2\phi*v(t)=\bruch{\beta}{m}[/mm]
Dann folgt mit Bernoulli:
[mm]v'(t) \blue{-} \bruch{\beta}{m}*2\phi*v(t)=\bruch{\beta}{m}[/mm]
>
> homogene LSG:
>
>
> v'(t) + [mm]\bruch{\beta}{m}*2\phi*v(t)=0[/mm]
>
> ....
>
> u= [mm]\bruch{1}{e^-^\bruch{\beta}{m}^*^2^\phi^*^t^+^C}[/mm]
>
> ...
>
> ist die lsg bis hierhin korrekt?
Leider nicht, siehe oben.
Gruss
MathePower
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Ich habe nun unter brücksichtigung der tipps das ergebins neu berrechent
die allgemeine lösung der Bernoulli 'DGL ergibt sich nun nach Rücksubstitution zu [mm] u=\bruch{1}{e^{2*\bruch{\beta}{m}*\phi*t}*c+\bruch{\beta}{m}}
[/mm]
hieraus folgt die Lösung der Riccati DGL zu:
[mm] v(t)=\bruch{1}{e^{2*\bruch{ß}{m}*\phi*t}*c+\bruch{\beta}{m}}+\bruch{\beta}{m}
[/mm]
ist die lösung nun so korrekt?
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Hallo likenobody,
> Ich habe nun unter brücksichtigung der tipps das ergebins
> neu berrechent
> die allgemeine lösung der Bernoulli 'DGL ergibt sich nun
> nach Rücksubstitution zu
> [mm]u=\bruch{1}{e^{2*\bruch{\beta}{m}*\phi*t}*c+\bruch{\beta}{m}}[/mm]
>
> hieraus folgt die Lösung der Riccati DGL zu:
>
> [mm]v(t)=\bruch{1}{e^{2*\bruch{ß}{m}*\phi*t}*c+\bruch{\beta}{m}}+\bruch{\beta}{m}[/mm]
>
> ist die lösung nun so korrekt?
>
Die Lösung ist nicht korrekt. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Gruss
MathePower
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Die erneute Berechnung fürhte mich nun zu dem Ergebnis:
[mm] v(t)=e^{2\cdot{}\bruch{\beta}{m}\cdot{}\bruch{\wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}}\cdot{}t}\cdot{}c+\bruch{\wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}}-\bruch{1}{2}\bruch{\wurzel{\beta}}{\wurzel{\alpha}}
[/mm]
ist denn die substitution bzw. die erratene lösung bei der riccati gleichung mit [mm] \bruch{\wurzel{\beta}}{\wurzel{\alpha}} [/mm] korrekt, muss diese nicht von t abhänig sein?
ich weiß bei der aufgabe einfach nicht mehr weiter.
vielen dank schonmal für hilfe.
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Hallo likenobody,
> Die erneute Berechnung fürhte mich nun zu dem Ergebnis:
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> [mm]v(t)=e^{2\cdot{}\bruch{\beta}{m}\cdot{}\bruch{\wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}}\cdot{}t}\cdot{}c+\bruch{\wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}}-\bruch{1}{2}\bruch{\wurzel{\beta}}{\wurzel{\alpha}}[/mm]
Hier meinst Du wohl:
[mm]v(t)= \bruch{1}{e^{2\cdot{}\bruch{\beta}{m}\cdot{}\bruch{\wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}}\cdot{}t}\cdot{}c-\bruch{1}{2}\bruch{\wurzel{\beta}}{\wurzel{\alpha}}}+\bruch{\wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}}[/mm]
>
> ist denn die substitution bzw. die erratene lösung bei der
> riccati gleichung mit
> [mm]\bruch{\wurzel{\beta}}{\wurzel{\alpha}}[/mm] korrekt, muss diese
> nicht von t abhänig sein?
Die erratene Lösung lautet doch [mm]\bruch{\wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}}[/mm]
Diese erratene Lösung muß nicht von t abhängig sein.
>
> ich weiß bei der aufgabe einfach nicht mehr weiter.
>
> vielen dank schonmal für hilfe.
>
Gruss
MathePower
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Ich gehe davon aus das die Lösung v(t)= [mm] \bruch{1}{e^{2\cdot{}\bruch{\beta}{m}\cdot{}\bruch{\wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}}\cdot{}t}\cdot{}c-\bruch{1}{2}\bruch{\wurzel{\beta}}{\wurzel{\alpha}}}+\bruch{\wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}} [/mm] korrekt ist?!
Vielen dank für die Geduld
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 Sa 09.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ich gehe davon aus das die Lösung [mm] v(t)=\bruch{1}{e^{2\cdot{}\bruch{\beta}{m}\cdot{}\bruch{\wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}}\cdot{}t}\cdot{}c-\bruch{1}{2}\bruch{\wurzel{\beta}}{\wurzel{\alpha}}}+\bruch{\wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}} [/mm] korrekt ist?!
Vielen dank für die Geduld
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:23 Mo 11.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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