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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Fr 08.02.2008 | | Autor: | chipbit |
| Aufgabe | i) Bestimmen Sie die Lösung f: [mm] \IR \to \IR [/mm] der Differentialgleichung f'=2f mit Anfangswert f(0)=3.
ii) Bestimmen Sie die Lösung [mm] x:\IR \to \IR^2 [/mm] der Differentialgleichung [mm] x'(t):=\bruch{d}{dt}x(t)=Cx(t) [/mm] mit Anfangswert [mm] x(0)=\vektor{4 \\ 5}, [/mm] wobei C die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 3 } [/mm] bezeichnet. |
Hallo,
also erstma zu i), die habe ich selber gemacht und wollte erstmal fragen ob das so richtig gelöst ist:
f'=2f
y'=2y
[mm] \bruch{dy}{dx}=2y
[/mm]
[mm] \bruch{1}{y}dy=2dx
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{y} dy}=\integral_{}^{}{2 dx}
[/mm]
[mm] \ln|y|= [/mm] 2x+ [mm] \ln|D|
[/mm]
auflösen nach y mit [mm] e^{ln|D|}=|C|:
[/mm]
[mm] |y|=|C|\cdot e^{2x}
[/mm]
[mm] y=C\cdot e^{2x} [/mm] mit Anfangswert f(0)=3 ergibt sich dann
[mm] y=3\cdot e^{2x} [/mm] ....richtig?
bei ii) bin ich aber leider etwas ins Schwimmen geraten. Denn da kommt ja plötzlich eine Matrix, wie muss ich das denn angehen? Kann mir da jemand einen Tipp geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Fr 08.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. die erste Dgl ist richtig
2. habt ihr kein verfahren für lineare DGl Systeme gelernt?
1. charakteristisches Polynom der Matrix.lösen dann [mm] C1*e^{\lambda_1*t}*v1+C2*e^{lambda_2*t}*v2
[/mm]
wobei v1, v2 die zu [mm] \lambda_1 [/mm] bzw. [mm] lambda_2 [/mm] gehörigen eigenvektoren sind.
andere Möglichkeit, die 2 Dgl für x1 und x2 aufstellen, eine weiter differenzieren, in die andere einsetzen und so eine Dgl zweiter Ordnung für x1 oder x2 aufstellen und lösen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Fr 08.02.2008 | | Autor: | chipbit |
ah okay, also das charakteristische Polynom der Matrix ist [mm] \lambda^2-4\lambda+3.
[/mm]
Daraus folgen die Eigentwerte [mm] \lambda_1=1 [/mm] , [mm] \lambda_2=3 [/mm] und die Eigenvektoren [mm] v_1=\vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] v_2=\vektor{1 \\ 1}.
[/mm]
[mm] C1\cdot{}e^{\lambda_1}\cdot{}v1+C2\cdot{}e^{\lambda_2}\cdot{}v2 =C1\cdot{}e^{1}\cdot{}\vektor{1 \\ 0}+C2\cdot{}e^{3}\cdot{}\vektor{1 \\ 1} [/mm] und mit den Anfangswerten [mm] x(0)=\vektor{4 \\ 5} [/mm] wird das dann ja [mm] 4\cdot{}e^{1}\cdot{}\vektor{1 \\ 0}+5\cdot{}e^{3}\cdot{}\vektor{1 \\ 1} [/mm] nicht?
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Hallo chipbit,
> ah okay, also das charakteristische Polynom der Matrix ist
> [mm]\lambda^2-4\lambda+3.[/mm]
> Daraus folgen die Eigentwerte [mm]\lambda_1=1[/mm] , [mm]\lambda_2=3[/mm]
> und die Eigenvektoren [mm]v_1=\vektor{1 \\ 0}[/mm] und [mm]v_2=\vektor{1 \\ 1}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]C1\cdot{}e^{\lambda_1}\cdot{}v1+C2\cdot{}e^{\lambda_2}\cdot{}v2 =C1\cdot{}e^{1}\cdot{}\vektor{1 \\ 0}+C2\cdot{}e^{3}\cdot{}\vektor{1 \\ 1}[/mm]
[mm]x\left ( t \right ) =C1\cdot{}e^{\lambda_1 t}\cdot{}v1+C2\cdot{}e^{\lambda_2t}\cdot{}v2 =C1\cdot{}e^{t}\cdot{}\vektor{1 \\ 0}+C2\cdot{}e^{3t}\cdot{}\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> und mit den Anfangswerten [mm]x(0)=\vektor{4 \\ 5}[/mm] wird das
> dann ja [mm]4\cdot{}e^{1}\cdot{}\vektor{1 \\ 0}+5\cdot{}e^{3}\cdot{}\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> nicht?
Das musst nochmal nachrechnen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:51 Sa 09.02.2008 | | Autor: | chipbit |
ah okay, das t fehlte....was meinst du mit nachrechnen? oder habe ich die Anfangswerte falsch eingesetzt?
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Hallo chipbit,
jdu hast dich bei der Berechnung von [mm] $c_1$ [/mm] vertan:
[mm] $x(0)=\vektor{4\\5}\Rightarrow c_1e^0\vektor{1\\0}+c_2e^{3\cdot{}0}\vektor{1\\1}=\vektor{4\\5}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow c_1\vektor{1\\0}+c_2\vektor{1\\1}=\vektor{4\\5}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow c_1+c_2=4\wedge c_2=5$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \blue{c_1=-1} \wedge c_2=5$
[/mm]
Also [mm] $x(t)=-e^t\vektor{1\\0}+5e^{3t}\vektor{1\\1}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 Sa 09.02.2008 | | Autor: | chipbit |
Ah okay, danke!
Das ganze kam mir schon etwas spanisch vor, aber ich hab es selber einfach nicht gesehen. Danke nochmal 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:47 Sa 09.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hatte in meinem post ein t vergessen. sieh noch mal nach, mathepower hats bei dir schon berichtigt.
Gruss leduart
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