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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - 8te wurzel aus eins
8te wurzel aus eins < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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8te wurzel aus eins: wurzeln und die zahl 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:57 Di 13.03.2007
Autor: stephan.opitz

aussagekräftige lsg der fragestellung:
berechne sie alle lösungen des 8ten grades von wurzel 1?!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
8te wurzel aus eins: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Di 13.03.2007
Autor: Herby

Hallo Stephan.opitz


und ein herzliches [willkommenmr]



> aussagekräftige lsg der fragestellung:

dann bekommst du hier mal eine aussagekräftige Formel ;-)

>  berechne sie alle lösungen des 8ten grades von wurzel 1?!


die n-te Wurzel aus eine komplexen Zahl [mm] z^n [/mm] zieht man nach folgender Formel:

[mm] z_k=\wurzel[n]{|a|}*\left[cos\left(\bruch{\alpha+2k\pi}{n}\right)+i*sin\left(\bruch{\alpha+2k\pi}{n}\right)\right] [/mm]


mit [mm] |a|=\wurzel{(Re(z))^2+(Im(z))^2} [/mm] und [mm] tan(\alpha)=\bruch{Im(z)}{Re(z)} [/mm] und k=(0,1, ... , n-1)


Viel Spaß

Liebe Grüße
Herby
Bezug
                
Bezug
8te wurzel aus eins: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:04 Mo 19.03.2007
Autor: stephan.opitz

verstehs nicht..

also meines erachtens müssten das ja die lsg der 4 achsen sein + 4 komplexe, weil einheitskreis in 8 stücke zerteilt wird...

mit 45° = pi/4

1,
-1,
i,
-i,
1 + i* pi/4,
-1 + i* pi/4
1 - i* pi/4,
-1 - i* pi/4

trotzdem würde ich nicht drauf kommen mit der formel?!

und was wäre bei ner ungeraden wurzel? 5 wurzel aus 1
oder 5 wurzel aus -2?
Bezug
                        
Bezug
8te wurzel aus eins: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:39 Mo 19.03.2007
Autor: schachuzipus


> verstehs nicht..
>  
> also meines erachtens müssten das ja die lsg der 4 achsen
> sein + 4 komplexe, weil einheitskreis in 8 stücke zerteilt
> wird... [ok] ich glaube, du meinst das Richtige
>  
> mit 45° = pi/4
>  
> 1,
> -1,
> i,
> -i,
> 1 + i* pi/4,
>  -1 + i* pi/4
> 1 - i* pi/4,
>  -1 - i* pi/4
>
> trotzdem würde ich nicht drauf kommen mit der formel?!
>  
> und was wäre bei ner ungeraden wurzel? 5 wurzel aus 1
>  oder 5 wurzel aus -2?


Hallo Stephan,

also die Lösungen von [mm] z^8=1 [/mm] liegen - wie du richtig vermutest - auf dem Einheitskreis. Wenn du sie verbindest, erhältst du ein regelmäßiges 8-Eck.
4 der Lösungen liegen auf den 4 Achsen, auf jeder Achse eine, denn [mm] i^8=(-i)^8=1^8=(-1)^8=1. [/mm]


Bei den 5-ten Einheitswurzeln, also den Lösungen von [mm] z^5=1 [/mm] liegen ebenfalls alle 5 Lösungen auf dem Einheitskreis, wenn du diese verbindest, erhältst du ein regelmäßiges 5-Eck.
Hier liegt aber nur 1 Lösung - nämlich die 1 auf den Achsen, denn [mm] 1^5=1 [/mm]   und [mm] (-1)^5=-1,i^5=i, (-i)^5=-i [/mm] , [mm] alle\ne1 [/mm]


Gruß

schachuzipus
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Bezug
8te wurzel aus eins: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:07 Mo 19.03.2007
Autor: stephan.opitz

danke...

tja trotzdem frage ich mich jetzt wie ich die anderen nicht auf den achsen rauskriegen... ist das irgendwie möglich? so dass sowas wie pi/?
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Bezug
8te wurzel aus eins: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:37 Mo 19.03.2007
Autor: schachuzipus

Hi,

bedenke, dass mit [mm] z^8=1 [/mm] gilt:

[mm] |z^8|=|z|^8=|1|=1 \Rightarrow [/mm] |z|=1 [mm] \Rightarrow \left|\wurzel[k]{z}\right|=1 [/mm]

Weiter ist [mm] 1=|1|\cdot{}(cos(0)+i\cdot{}sin(0))=cos(0)+i\cdot{}sin(0) [/mm]

Damit solltest du die Lösungen [mm] $z_0,....z_7$ [/mm] gem. der Formel, die Herby dir aufgeschrieben hat doch lösen können.

Einfach sukzessive berechnen ;-)

Probier's mal, die Formel ist echt gut ;-)


Gruß

schachuzipus
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