5 Vektoren Basis des R^3? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 So 24.04.2005 | | Autor: | Max_well |
Hallo,
Warum können 5 Vektoren keine Basis des [mm] R^3 [/mm] bilden?
Ich kann mir das irgendwie nicht vorstellen. Basis des [mm] R^n [/mm] heißt ja, dass die Vektoren ein linearunabhängiges Erzeugendensystem bilden müssen. Also ein Erzeugendensystem des [mm] R^3 [/mm] können 5 Vektoren ja anscheinend bilden, aber dann müssten 5 Vektoren ja immer linear abhängig sein - oder wie? Warum?
Hoffe auf Antwort - Max_Well
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 So 24.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Max!
Eine Basis ist ja ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Dies ist gleichbedeutend damit, dass es sich um ein minimales Erzeugendensystem und eine maximal linear unabhängige Familie handelt (d.h. jedes größere Erzeugendensystem ist linear abhängig und jede kleinere linear unabhängige Familie kein Erzeugendensystem). Die Länge einer Basis in einem Vektorraum ist somit eindeutig bestimmt.
Da [mm] $((1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T)$ [/mm] (die sogenannte kanonische Basis des [mm] $\IR^3$) [/mm] offensichtlich ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, also eine Basis bildet, kann es keine Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] einer anderen Länge als $3$ geben.
Offenbar kann man dies verallgemeinern: Ist [mm] $\IK$ [/mm] ein beliebiger Körper, so bilden die $n$ kanonischen Einheitsvektoren (die Vektoren mit einer $1$ und dem Rest $0$en) eine Basis des [mm] $\IK^n$. [/mm] Daher gilt: [mm] $\dim(\IK^n)=n$, [/mm] und jede Basis des [mm] $\IK^n$ [/mm] hat die Länge $n$.
Liebe Grüße
Stefan
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