5 Richtige mit Zusatzzahl < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Fr 02.04.2010 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | Lotto (6 aus 49).
a) Wie wahrscheinlich ist es, 6 Richtige zu ziehen?
b) Per Definition hat jemand n Richtige mit Zusatzzahl, wenn unter den sechs angekreutzen Zahlen genau n eigentliche Gewinnzahlen und die Zusatzzahl sind Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für 5 Richtige mit Zusatzzahl? |
a) Hier könnte ich entweder das logisch naheliegende Produkt
[mm]\bruch{6}{49} * \bruch{5}{49} * ... * \bruch{1}{44} \approx 0,000000071[/mm]
oder die Fragestellung als hypergeometrisch verteilte Zufallsgröße mit den Werten n' = 49, k' = 6 (getippte Zahlen/Richtige), n = 6 (entnommene Zahlen), k = 6 (gewünschte Treffer) betrachten:
[mm]f(k) = \bruch{\vektor{k' \\ k} \cdot \vektor{n'-k' \\ n-k}}{\vektor{n'\\n}} = \bruch{\vektor{6 \\ 6} \cdot \vektor{43 \\ 0}}{\vektor{49\\6}} = \bruch{1 \cdot 1}{\bruch{49!}{43! \cdot 6!}} \approx 0,000000071[/mm]
Gott sei Dank sind die Lösungen (naheliegenderweise) identisch. Trotzdem meine Frage (könnte ja bei so vielen gleichen Werten Zufall sein): Hab ich die hypergeometrische Verteilung hier richtig angewendet? Sprich alle n,n',k,k' ihrer Bedeutung entsprechend korrekt zugeordnet?
b) Die Wahrscheinlichkeit für 5 Richtige mit Zusatzzahl:
[mm]w(5 Richtige + Zusatzzahl) = w(5 Richtige) * w(Zusatzzahl) = \bruch{5! \cdot 43!}{49!} * \bruch{1}{43} \approx 0,00000001183[/mm]
Und hier bin ich (einigermaßen) erstaunt: 6 Richtige sind tatsächlich 6 mal so wahrscheinlich wie 5 Richtige mit Zusatzzahl?
Dann sind die Gewinnklassen aber ganz schön unfair verteilt... 
Oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht? Ich danke im Voraus für eure Hilfe. 
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Sa 03.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Lotto (6 aus 49).
> a) Wie wahrscheinlich ist es, 6 Richtige zu ziehen?
> b) Per Definition hat jemand n Richtige mit Zusatzzahl,
> wenn unter den sechs angekreutzen Zahlen genau n
> eigentliche Gewinnzahlen und die Zusatzzahl sind Wie groß
> ist die Wahrscheinlichkeit für 5 Richtige mit Zusatzzahl?
> a) Hier könnte ich entweder das logisch naheliegende
> Produkt
> [mm]\bruch{6}{49} * \bruch{5}{49} * ... * \bruch{1}{44} \approx 0,000000071[/mm]
>
> oder die Fragestellung als hypergeometrisch verteilte
> Zufallsgröße mit den Werten n' = 49, k' = 6 (getippte
> Zahlen/Richtige), n = 6 (entnommene Zahlen), k = 6
> (gewünschte Treffer) betrachten:
>
> [mm]f(k) = \bruch{\vektor{k' \\ k} \cdot \vektor{n'-k' \\ n-k}}{\vektor{n'\\n}} = \bruch{\vektor{6 \\ 6} \cdot \vektor{43 \\ 0}}{\vektor{49\\6}} = \bruch{1 \cdot 1}{\bruch{49!}{43! \cdot 6!}} \approx 0,000000071[/mm]
>
> Gott sei Dank sind die Lösungen (naheliegenderweise)
> identisch. Trotzdem meine Frage (könnte ja bei so vielen
> gleichen Werten Zufall sein): Hab ich die hypergeometrische
> Verteilung hier richtig angewendet? Sprich alle n,n',k,k'
> ihrer Bedeutung entsprechend korrekt zugeordnet?
Hallo,
die hypergeometrische Verteilung beschreibt Ziehen ohne Zurücklegen.
Gruß Abakus
>
> b) Die Wahrscheinlichkeit für 5 Richtige mit Zusatzzahl:
> [mm]w(5 Richtige + Zusatzzahl) = w(5 Richtige) * w(Zusatzzahl) = \bruch{5! \cdot 43!}{49!} * \bruch{1}{43} \approx 0,00000001183[/mm]
>
> Und hier bin ich (einigermaßen) erstaunt: 6 Richtige sind
> tatsächlich 6 mal so wahrscheinlich wie 5 Richtige mit
> Zusatzzahl?
> Dann sind die Gewinnklassen aber ganz schön unfair
> verteilt...
>
> Oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht? Ich danke im
> Voraus für eure Hilfe.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Lotto (6 aus 49).
> a) Wie wahrscheinlich ist es, 6 Richtige zu ziehen?
> b) Per Definition hat jemand n Richtige mit Zusatzzahl,
> wenn unter den sechs angekreutzen Zahlen genau n
> eigentliche Gewinnzahlen und die Zusatzzahl sind Wie groß
> ist die Wahrscheinlichkeit für 5 Richtige mit Zusatzzahl?
> a) Hier könnte ich entweder das logisch naheliegende
> Produkt
> [mm]\bruch{6}{49} * \bruch{5}{49} * ... * \bruch{1}{44} \approx 0,000000071[/mm]
>
> oder die Fragestellung als hypergeometrisch verteilte
> Zufallsgröße mit den Werten n' = 49, k' = 6 (getippte
> Zahlen/Richtige), n = 6 (entnommene Zahlen), k = 6
> (gewünschte Treffer) betrachten:
>
> [mm]f(k) = \bruch{\vektor{k' \\ k} \cdot \vektor{n'-k' \\ n-k}}{\vektor{n'\\n}} = \bruch{\vektor{6 \\ 6} \cdot \vektor{43 \\ 0}}{\vektor{49\\6}} = \bruch{1 \cdot 1}{\bruch{49!}{43! \cdot 6!}} \approx 0,000000071[/mm]
>
> Gott sei Dank sind die Lösungen (naheliegenderweise)
> identisch. Trotzdem meine Frage (könnte ja bei so vielen
> gleichen Werten Zufall sein): Hab ich die hypergeometrische
> Verteilung hier richtig angewendet? Sprich alle n,n',k,k'
> ihrer Bedeutung entsprechend korrekt zugeordnet?
Du hast alles richtig gemacht.
> b) Die Wahrscheinlichkeit für 5 Richtige mit Zusatzzahl:
> [mm]w(5 Richtige + Zusatzzahl) = w(5 Richtige) * w(Zusatzzahl) = \bruch{5! \cdot 43!}{49!} * \bruch{1}{43} \approx 0,00000001183[/mm]
>
> Und hier bin ich (einigermaßen) erstaunt: 6 Richtige sind
> tatsächlich 6 mal so wahrscheinlich wie 5 Richtige mit
> Zusatzzahl?
> Dann sind die Gewinnklassen aber ganz schön unfair
> verteilt...
Du hast dich vertan.
Ich verstehe zum Beispiel nicht, wie du überhaupt auf deine obigen Wahrscheinlichkeiten kommst.
Üblicherweise macht man es so:
Grundgesamtheit: 49 Kugeln
Zu ziehen: 6 Kugeln
Teile Grundgesamtheit auf:
- 1 Zusatzzahl, 1 wollen wir
- 6 Richtige, 5 wollen wir
- 42 Falsche, 0 wollen wir
Formel:
$P = [mm] \frac{\vektor{1\\1}*\vektor{6\\5}*\vektor{42\\0}}{\vektor{49\\6}}$
[/mm]
Grüße,
Stefan
|
|
|
|
