5 Kugeln auf 7 Gefäßen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 5 Schüler werden zufällig auf 7 Klassen verteilt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
a) in jeder KLasse befindet sich hächstens ein Schüler
b) in genau einer Klasse befinden sich zwei Schüler |
Kann mir einer bitte sagen wie das gerechnet wird? Ich habe in unserem Mathebuch nur solche Aufgaben, und zwar ohne Lösung.
Im Internet bin ich auch nicht darauf gestoßen wie man so eine Aufgabe löst.
danke im Voraus
Das_Pflaume
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Das_Pflaume,
> 5 Schüler werden zufällig auf 7 Klassen verteilt. Berechnen
> Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
> a) in jeder KLasse befindet sich hächstens ein Schüler
> b) in genau einer Klasse befinden sich zwei Schüler
> Kann mir einer bitte sagen wie das gerechnet wird? Ich
> habe in unserem Mathebuch nur solche Aufgaben, und zwar
> ohne Lösung.
Angenommen wir wollten diesen Verteilungsprozess fair gestalten. Dann könnte man sieben von 1 bis 7 durchnummerierte Kugeln in eine Schale legen und jeden Schüler einzeln eine Kugel aus dieser Schale ziehen lassen.
Nachdem der Schüler wüßte in welche Klasse er zu gehen hat, würde er die Kugel in die Schale zurücklegen. Hier handelt es sich also um ![[]](/images/popup.gif) Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge. Nennen wir diese Anzahl aller möglichen Ziehungen [mm]\alpha[/mm]. Die Situation bei Aufgabe a) ist nur möglich, wenn man den Freiheitsgrad der Wiederholung bei der Ziehung fallen läßt, denn dann könnte keiner eine mehrfache Nummer ziehen (Tipp: Sieh' dich mal auf der Kombinatorik-Seite um, um die richtige Formel dafür zu finden.). Wenn du die Formel hast, berechnest du damit die Anzahl der für dieses Eregnis günstigen Möglichkeiten, welche ich als [mm]\beta[/mm] bezeichne. Dann wäre deine gesuchte W'keit [mm]p_a=\tfrac{\beta}{\alpha}[/mm]. Bei b) wirst du wohl die Pfadregel anwenden müssen: [mm]p_b = \tfrac{\beta_1}{\alpha}\cdot{\tfrac{\beta_2}{\alpha}}[/mm]. Jetzt nehmen wir zufällig eine Kugel aus der Schale, legen sie in eine 2te leere Schale und lassen zwei Schüler daraus mit Zurücklegen ziehen. [mm]\beta_1[/mm] sagt uns wieviele Ziehungen hierbei möglich sind. Bei [mm]\beta_2[/mm] handelt es sich wohl auch um Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge. Beachte aber, daß hierfür die 1te Schale vorgesehen ist!
Viele Grüße
Karl
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 17:31 Do 27.09.2007 | | Autor: | VornameName |
Hallo Karl,
> Angenommen wir wollten diesen Verteilungsprozess fair
> gestalten. Dann könnte man sieben von 1 bis 7
> durchnummerierte Kugeln in eine Schale legen und jeden
> Schüler einzeln eine Kugel aus dieser Schale ziehen
> lassen.
> Nachdem der Schüler wüßte in welche Klasse er zu gehen
> hat, würde er die Kugel in die Schale zurücklegen. Hier
> handelt es sich also um
> Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge.
Ich denke, das kann so nicht funktionieren. Die Reihenfolge muß schon beachtet werden. Wenn du z.B. eine Ziehung der Form (1,1,2,2,2) hast, so könntest du diese ohne die Reihenfolge nicht von einer Ziehung (1,2,1,2,2) unterscheiden. D.h. am Ende wüßten die Schüler immer noch nicht, in welche Klasse jeder von ihnen zu gehen hätte.
Gruß
V.N.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Di 25.09.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Das_Pflaume,
zunaechst erst einmal ein herzliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
zunaechst wollen wir klaeren, wieviel Moeglichkeiten es gibt, die 5
Schueler auf die sieben Klassen zu verteilten. Der erste kann in Klasse
1, Klasse 2, ... oder Klasse 7 aufgenommen werden. Er hat 7 also
Moeglichkeiten. Dasselbe gilt fuer Schueler 2, 3, 4 und 5. Also gibt es
[mm] $7^5=16807$ [/mm] Moeglichkeiten, die 5 Schueler aufzuteilen.
a) Jede Auswahl, wo in sich jeder Klasse hoechstens ein Schueler befindet
koennen wir gleichsetzen mit einer Auswahl von 5 aus den 7 Klassen. Es
gibt [mm] ${7\çhoose 2}=21$ [/mm] derartige Auswahlen. Haben wir uns fuer eine
Auswahl entschieden, so gibt es noch 5!=120 Moeglichkeiten, die Schueler
auf die 5 Klassen zu [mm] verteilten.\\ [/mm] Mithin ist die gesuchte
Wahrscheinlichkeit [mm] $5!\times [/mm] 21/16807=0.1499$.
b) Es gibt 7 Moeglichkeiten, eine Klasse auszuwaehlen, in die 2 Schueler
aufgenommen werden. Es gibt ${5 [mm] \choose [/mm] 2}=10$ Moeglichkeiten, 2
Schueler fuer jene Klasse auszuwaehlen. Fuer die restlichen 6 Klassen
mit den verbliebenen 3 Schuelern koennen wir argumentieren wie unter a).
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also $7 [mm] \times [/mm] 10 [mm] \times [/mm] 3! [mm] \times {6\choose 3}/16807=0.4998$.
[/mm]
lg
Luis
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Hallo,
eine Frage habe ich noch:
ist es Zufall, dass z.B. in der Aufgabe a) der Schritt [mm] \vektor{7 \\ 5} [/mm] *5! das Gleiche ergibt, wie wenn man 7!/5! rechnet???
genauso auch bei [mm] \vektor{6 \\ 3} [/mm] *3! =120=6!/3! ???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Di 25.09.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo,
>
> eine Frage habe ich noch:
>
> ist es Zufall, dass z.B. in der Aufgabe a) der Schritt
> [mm]\vektor{7 \\ 5}[/mm] *5! das Gleiche ergibt, wie wenn man 7!/5!
> rechnet???
Nein, das ist kein Zufall, du darfst getrost kuerzen. Ich habe das nur
aus "didaktischen Gruenden" so ausfuehrlich aufgeschrieben.
lg Luis
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zur b) nochmal...
müsste man bei der nicht noch die Wahrscheinlichkeit für den Fall 2 in einer Klasse und die übrigen 3 auch in einer Klasse berechnen?
demnach habe ich gerechnet:
P(A) = [mm] \bruch{\vektor{5 \\ 2}*7*6*5*4}{7^{5}} [/mm] + [mm] \bruch{\vektor{5 \\ 2}*7*6*\vektor{3 \\ 3}}{7^{5}}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Mi 26.09.2007 | | Autor: | luis52 |
> zur b) nochmal...
>
> müsste man bei der nicht noch die Wahrscheinlichkeit für
> den Fall 2 in einer Klasse und die übrigen 3 auch in einer
> Klasse berechnen?
Nein, dann wuerden sich nicht *genau* zwei in *einer* Klasse
befinden.
lg Luis
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ehhmm.....
bin ich jetzt total verwirrt.....
also wenn es 5 Schüler gibt, dann können doch GENAU 2 in z.B. Klasse 2 und GENAU 3 (also die Restlichen) in Klasse 4 oder so???
die Bedingung in der Aufgabe ist doch nur GENAU 2 ..... in den anderen können soviele sein wie Möglich, nur nicht GENAU 2 (ganau 2 sind ja nicht genau 3) ???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Mi 26.09.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin,
bitte nicht schlagen! Du hast Recht! Ich ergebe mich! 
Du hast das sehr schoen mit
$P(A) = [mm] \bruch{\vektor{5 \\ 2}\cdot{}7\cdot{}6\cdot{}5\cdot{}4}{7^{5}} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{\vektor{5 \\ 2}\cdot{}7\cdot{}6\cdot{}\vektor{3 \\ 3}}{7^{5}} [/mm] $
berechnet.
lg Luis
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gut, dann hat sich ja alles geklärt.
Ich habe die Aufgabe verstanden, und auch berechnen können.
Vielen Dank!
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