4te Wurzel von -1 < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Mo 13.11.2006 | | Autor: | Rmeusbur |
| Aufgabe | | Berechnen Sie alle komplexen vierten Wurzeln der Zahl -1. Geben Sie die Ergebnisse in Normalform an. |
Servus zusammen,
mich hätte eigentlich nur interessiert, was ihr zu folgendem Lösungsvorschlag meint:
[mm] z_{0}=1
[/mm]
[mm] z_{1}=1
[/mm]
[mm] z_{2}=-1
[/mm]
[mm] z_{3}=-i
[/mm]
Bin ich hiermit auf dem richtigen Weg?
Schöne Grüsse
Robert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Mo 13.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Robert
Warum machst du nicht die "Probe" [mm] d.h.(\wurzel[4]{-1})^4=-1
[/mm]
[mm] 1^4=1 \ne [/mm] -1
[mm] (-1)^4=1 \ne [/mm] -1
[mm] (-i)^4=(i^4)=1 \ne [/mm] -1
schreib [mm] -i=e^{i\pi}, [/mm] oder versuchs mit [mm] i^{1/4}=i^{1/2}*i^{1/2} [/mm] oder
[mm] (i^{1/2})^{1/2}
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Mo 13.11.2006 | | Autor: | Rmeusbur |
Hallo leduart,
hmm, das versteh ich jetzt ehrlich gesagt überhaupt nicht. Aufgrund der vierten Wurzel müssten doch vier Ergebnisse herauskommen?! Ich bin aufgrund der Angabe von folgender Normalform ausgegangen:
z=-1+0*i
Habe ich hier vielleicht einen Denkfehler, ist dies gar nicht die richtige Normalform für obrige Aufgabe?
Danke und schöne Grüsse
Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Mo 13.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> hmm, das versteh ich jetzt ehrlich gesagt überhaupt nicht.
Was verstehst du nicht? Dass die 4. Wurzel hoch vier wieder die Zahl sein muss? Das ist die Definition der 4. Wurzel!
> Aufgrund der vierten Wurzel müssten doch vier Ergebnisse
> herauskommen?!
Ja! vielleicht hilft dir Drehung von (1,0) um 180° und um 360°+180° und 720°+180° ergibt dasselbe, nämlich (-1,0) ; und 180=4*45
>Ich bin aufgrund der Angabe von folgender
> Normalform ausgegangen:
> z=-1+0*i
richtig.
> Habe ich hier vielleicht einen Denkfehler, ist dies gar
> nicht die richtige Normalform für obrige Aufgabe?
doch! Wie hast du denn die Wurzel bestimmt?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Mo 13.11.2006 | | Autor: | Rmeusbur |
Hallo leduard,
durch berechnen und einsetzen der Werte in folgende Formel:
[mm] z_{k}=\wurzel[n]{|z|}(\cos\bruch{\mu+k*360}{n}+i*\sin\bruch{\mu+k*360}{n})
[/mm]
wobei [mm] \mu [/mm] für den Winkel steht, diser ergibt sich aus dem arctan von 0/1 und ist somit 0
Somit ergibt sich für [mm] z_{0}:
[/mm]
[mm] z_{0}=1*(\cos0/4 [/mm] + [mm] i*\sin0/4)
[/mm]
[mm] z_{0}=1
[/mm]
und so habe ich dann einen Wert nach dem anderen erhalten...
Gruss Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Mo 13.11.2006 | | Autor: | Zaed |
Hallo, genau da liegt dein Fehler.
Der arctan(0) ist nicht 0!
Du kannst doch folgendermaßen rechnen:
[mm] arctan(0) = x \gdw tan(x) = 0 [/mm]
Und wo hat der Tangens seine Nullstellen? So bekommst du dein [mm] \mu [/mm] raus...
mfG Zaed
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 Di 14.11.2006 | | Autor: | Rmeusbur |
Hmm, stimmt der arctan(180°) ist natürlich 0. Deshalb ist [mm] \mu [/mm] natürlich 180! Somit erhalte ich die folgenden, hoffentlich richtigen Ergebnisse:
[mm] z_{0} [/mm] = 0,7071 + 0,7071i
[mm] z_{1} [/mm] = -0,7071 + 0,7071i
[mm] z_{2} [/mm] = -0,7071 - 0,7071i
[mm] z_{3} [/mm] = 0,7071 - 0,7071i
Was haltet ihr davon?
Gruss Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Di 14.11.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Robert,
> Hmm, stimmt der arctan(180°) ist natürlich 0. Deshalb ist
> [mm]\mu[/mm] natürlich 180! Somit erhalte ich die folgenden,
> hoffentlich richtigen Ergebnisse:
> [mm]z_{0}[/mm] = 0,7071 + 0,7071i
> [mm]z_{1}[/mm] = -0,7071 + 0,7071i
> [mm]z_{2}[/mm] = -0,7071 - 0,7071i
> [mm]z_{3}[/mm] = 0,7071 - 0,7071i
>
> Was haltet ihr davon?
>
> Gruss Robert
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") deine Lösungen stimmen
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:42 Di 14.11.2006 | | Autor: | Zaed |
Hallo Robert, wie von Herby schon gesagt, ist deine Lösung richtig! Aber denke bitte mal über deine Notation nach :D
Deine Ergebnisse kann man auch mittels Brüchen darstellen, und diese Darstellung ist natürlich die Bevorzugte (sofern möglich)
0,7071 entspricht doch [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm]
Darauf kommst du, wenn du nicht den Taschenrechner verwendest, sondern die speziellen Winkelwerte für Sinus und Cosinus verwendest :D
mfG Zaed
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 Di 14.11.2006 | | Autor: | Rmeusbur |
Danke euch beiden!
Gruss Robert
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