4-fache Nullstelle < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:17 Di 28.11.2006 | | Autor: | santor |
Hallo,
ich habe mal eine Frage, wann eine 4-fache Nullstelle vorliegt und woran man sie erkennt?
Bei der Gleichung [mm] x^4=1, [/mm] handelt es sich da um eine 4-fache Nullstelle? Wenn ich die 4-te Wurzel ziehe, dann bekomme ich 1 und -1 als Lösung. Oder wie ist es hier?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Di 28.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Jens:
[mm] x^{4}=1 [/mm] ist keine vierfache Nullstelle
Dazu brauchst du erstmal eine Funktion, sowie eine stelle [mm] x_{0}
[/mm]
In diesem Fall wäre es [mm] f(x)=x^{4}-1.
[/mm]
Und diese Funktion hat zwei Nullstellen, nämlich 1 und -1, weil
[mm] x^{4}-1=(x²-1)*(x²+1)=(x-1)(x+1)(x²+1)
[/mm]
Hier siehst du die Nullstellen und ihre Anzahl.
(x-1) kommt als Linearfaktor einmal vor, also ist +1 eine einfache Nullstelle, (x+1) kommt auch einmal vor, also: einfache Nullstelle bei -1
(x²+1) hat in [mm] \IR [/mm] keine Nullstellen, in [mm] \IC [/mm] kann man aber noch in folgende Linearfarktoren zerlegen.
[mm] x^{4}-1=(x+1)(x-1)(x+i)(x-i)
[/mm]
Also hat f in [mm] \IC [/mm] vier einfacne Nullstellen, 1,-1,i,-i
Nehmen wir noch die Funktion [mm] (x-1)^{4}
[/mm]
Diese hat an der Stelle x=1 eine vierfache Nullstelle.
Du erkennst es wieder daran, dass (x-1) als Linearfaktor viermal vorkommt.
Marius
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