4-elementrige Gruppe < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Mi 20.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Man gebe die Gruppentafel einer vierelementigen Gruppe an. Man begründe, dass es sich um eine Gruppe handelt. |
Guten Abend^^
Ich soll also eine 4-elemntrige Gruppe angeben.
Ich hab mir etwas ausgedacht,unzwar G:={0,1,-1,2} mit der Verknüpfung +.
Jetzt muss ich begründen,dass es eine Gruppe ist.
Also das Assoziativgesetz ist schonmal erfüllt.
Das neutrale Element ist die 0.
Das Inverse für die 0 ist die 0 selbst.Das Inverse für die 1 ist die -1 und das Inverse für die -1 ist die 1.
Das Problem ist aber die 2,die hat kein Inverses,das 4.Element bereitet mir also Schwierigkeiten.
Kann mir jemand einen Tipp geben,wie ich geschickt ein 4. passendes Element finden kann?
Ich hab es auch schon mit der Verknüpfung * versucht,aber da stört auch immer ein Element.
lg
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Hallo Mandy,
du musst dich davon lösen, die Elemente als (natürl.) Zahlen zu sehen und die Verknüpfung als Addition in den nat. Zahlen.
Gib dir lieben eine allg. Menge vor [mm]\{e,a,b,c\}[/mm]
Hierbei ist e schonmal das neutrale Element, die Verknüpfung nenne meinetwegen [mm]\star[/mm] (oder auch + ...)
Dann male dir eine Verknüpfungstafel auf:
[mm]\begin{tabular}[ht]{ccccc}\hline \star & e& a & b & c\\
\hline \hline e & \red{e} & \red{a} & \red{b} & \red{c}\\
a & \red{a} & ...& ... & ...\\
b & \red{b} & ... & ... & ...\\
c & \red{c} & ... & ... & ...\\
\end{tabular}[/mm]
Die roten Einträge sind direkt klar, da e ja neutral ist.
Nun bastel dir mal die Tafel weiter voll. Bedenke, dass jedes Element in jeder Zeile und Spalte nur genau einmal vorkommen darf.
Eine kommutative Gruppe erkennst du an der Symmetrie zur Hauptdiagonale ...
Bastel ein bisschen herum ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Do 21.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy,
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> du musst dich davon lösen, die Elemente als (natürl.)
> Zahlen zu sehen und die Verknüpfung als Addition in den
> nat. Zahlen.
>
> Gib dir lieben eine allg. Menge vor [mm]\{e,a,b,c\}[/mm]
>
> Hierbei ist e schonmal das neutrale Element, die
> Verknüpfung nenne meinetwegen [mm]\star[/mm] (oder auch + ...)
>
> Dann male dir eine Verknüpfungstafel auf:
>
> [mm]\begin{tabular}[ht]{ccccc}\hline \star & e& a & b & c\\
\hline \hline e & \red{e} & \red{a} & \red{b} & \red{c}\\
a & \red{a} & ...& ... & ...\\
b & \red{b} & ... & ... & ...\\
c & \red{c} & ... & ... & ...\\
\end{tabular}[/mm]
>
> Die roten Einträge sind direkt klar, da e ja neutral ist.
>
> Nun bastel dir mal die Tafel weiter voll. Bedenke, dass
> jedes Element in jeder Zeile und Spalte nur genau einmal
> vorkommen darf.
>
> Eine kommutative Gruppe erkennst du an der Symmetrie zur
> Hauptdiagonale ...
>
> Bastel ein bisschen herum ...
ok,ich hab also schon mal ein neutrales element e,ich hab die tabelle ausgefüllt,aber ich weiß nicht wie ich das hier eintragen soll,deswegen schreib ich es einfachso hin:
a*a=e,a*b=c,a*c=b,b*a=c,b*b=e,b*c=a,c*a=b,c*b=a,c*c=e.
Das heißt,das Inverse zu a ist a,zub b und c ist es c.
Und kann das eigentlich stimmen,wenn ich einfach sage,dass a*b=c ist?
Oder muss es stimmen,weil in jeder Zeile und jeder Spalte jedes Element einmal vorkommt,und wenn ich die Tabelle so gebastelt habe,dass in jeder Zeile und Spalte jedes Element einmal vorkommt und das mit der Hauptdiagonalen stimmt,ist es dann auf jeden Fall richtig wenn da z.B. a*b=c steht?
lg
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo^^
Hab ich die Tabelle richtig ausgefüllt mit a*a=e,a*b=c,a*c=b,b*a=c,b*b=e,b*c=a,c*a=b,c*b=a,c*c=e ?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Mi 20.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Man gebe die Gruppentafel einer vierelementigen Gruppe an.
> Man begründe, dass es sich um eine Gruppe handelt.
> Guten Abend^^
>
> Ich soll also eine 4-elemntrige Gruppe angeben.
> Ich hab mir etwas ausgedacht,unzwar G:={0,1,-1,2} mit der
> Verknüpfung +.
Hallo,
eine Verknüpfung zweier Elemente der Gruppe muss wieder ein Element dieser Gruppe liefern.
2+1 und 2+2 führen aber aus der Gruppe heraus.
Gruß Abakus
>
> Jetzt muss ich begründen,dass es eine Gruppe ist.
> Also das Assoziativgesetz ist schonmal erfüllt.
> Das neutrale Element ist die 0.
> Das Inverse für die 0 ist die 0 selbst.Das Inverse für
> die 1 ist die -1 und das Inverse für die -1 ist die 1.
> Das Problem ist aber die 2,die hat kein Inverses,das
> 4.Element bereitet mir also Schwierigkeiten.
> Kann mir jemand einen Tipp geben,wie ich geschickt ein 4.
> passendes Element finden kann?
> Ich hab es auch schon mit der Verknüpfung * versucht,aber
> da stört auch immer ein Element.
>
> lg
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Hallo abakus,
> > Man gebe die Gruppentafel einer vierelementigen Gruppe an.
> > Man begründe, dass es sich um eine Gruppe handelt.
> > Guten Abend^^
> >
> > Ich soll also eine 4-elemntrige Gruppe angeben.
> > Ich hab mir etwas ausgedacht,unzwar G:={0,1,-1,2} mit
> der
> > Verknüpfung +.
> Hallo,
> eine Verknüpfung zweier Elemente der Gruppe muss wieder
> ein Element dieser Gruppe liefern.
> 2+1 und 2+2 führen aber aus der Gruppe heraus.
Wieso das?
Mit Mandys Festlegungen und etwa $2+1:=-1$, $2+2:=0$ bekommst du eine nette Gruppentafel hin. (wenn ich mich beim Transfer von a,b,c,e auf 0,1,-1,2 nicht verguckt habe  )
Namen sind doch Schall und Rauch ...
Genau aus dem Grund deines Einwandes hatte ich Mandy geraten, von den konkreten Zahlen und dem +, das gedanklich zu sehr an die Addition nat. Zahlen bindet, wegzugehen ...
> Gruß Abakus
> >
> > Jetzt muss ich begründen,dass es eine Gruppe ist.
> > Also das Assoziativgesetz ist schonmal erfüllt.
> > Das neutrale Element ist die 0.
> > Das Inverse für die 0 ist die 0 selbst.Das Inverse
> für
> > die 1 ist die -1 und das Inverse für die -1 ist die 1.
> > Das Problem ist aber die 2,die hat kein Inverses,das
> > 4.Element bereitet mir also Schwierigkeiten.
> > Kann mir jemand einen Tipp geben,wie ich geschickt ein
> 4.
> > passendes Element finden kann?
> > Ich hab es auch schon mit der Verknüpfung *
> versucht,aber
> > da stört auch immer ein Element.
> >
> > lg
>
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Mi 20.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Man gebe die Gruppentafel einer vierelementigen Gruppe an.
> Man begründe, dass es sich um eine Gruppe handelt.
> Guten Abend^^
>
> Ich soll also eine 4-elemntrige Gruppe angeben.
Wie wäre es mit 0°, 90°, 180° und 270°?
Die Verknüpfung "+" steht für die Nacheinanderausführung zweier Drehungen im positiven Drehsinn um ein festes Drehzentrum.
Gruß Abakus
> Ich hab mir etwas ausgedacht,unzwar G:={0,1,-1,2} mit der
> Verknüpfung +.
>
> Jetzt muss ich begründen,dass es eine Gruppe ist.
> Also das Assoziativgesetz ist schonmal erfüllt.
> Das neutrale Element ist die 0.
> Das Inverse für die 0 ist die 0 selbst.Das Inverse für
> die 1 ist die -1 und das Inverse für die -1 ist die 1.
> Das Problem ist aber die 2,die hat kein Inverses,das
> 4.Element bereitet mir also Schwierigkeiten.
> Kann mir jemand einen Tipp geben,wie ich geschickt ein 4.
> passendes Element finden kann?
> Ich hab es auch schon mit der Verknüpfung * versucht,aber
> da stört auch immer ein Element.
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Man soll ja noch begründen,dass es sich um eine Gruppe handelt.Das habe ich so gemacht.
1.Assoziativgesetz
Es gilt: (a*b)*c=a*b*c=a*(b*c)
2.neutrales Element: ist e
3.inverses Element:
die Elemente sind zu sich selbst invers.
Ist das so in Ordnung?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:12 Di 26.10.2010 | | Autor: | meili |
Hallo Mandy,
> Man soll ja noch begründen,dass es sich um eine Gruppe
> handelt.Das habe ich so gemacht.
>
> 1.Assoziativgesetz
> Es gilt: (a*b)*c=a*b*c=a*(b*c)
>
> 2.neutrales Element: ist e
>
> 3.inverses Element:
>
> die Elemente sind zu sich selbst invers.
>
> Ist das so in Ordnung?
>
> lg
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, das ist korekt so. Damit hast Du eine Gruppe mit vier Elementen gefunden.
Es gibt noch eine andere Möglichkeit vier Elemente, so zu verknüpfen, dass sie die Gruppenaxiome erfüllen.
Gruß
meili
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