4-adische Dst. < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | i) Berechnen Sie b [mm] \in \mathbb{N} [/mm] so, dass [mm] 0,\overline{0001001} [/mm] die 4-adische Darstellung von [mm] \bruch{1}{b} [/mm] ist.
ii) Geben Sie die 2-adische Darstellung von [mm] \bruch{1}{b} [/mm] an.
iii) Welche Periodenläöngen können bei einer g-adischen Darstellung von [mm] \bruch{1}{b} [/mm] genau auftreten? Geben Sie jeweils ein zugehöriges g [mm] \in \mathbb{N}, [/mm] g > 1 an. |
Hallo,
ich bins mal wieder 
Lerne gerade für eine Klausur und gehe alte Klausuraufgaben durch und bin dabei immer wieder über diesen Aufgabentyp gestolpert...
Das Problem ist: Wir haben bisher immer nur normal umgerechnet in den Zahlensystemen. Sprich ich könnte die 4-adische Dst. von [mm] \bruch{1}{24} [/mm] z.B. ausrechnen. Aber wie ich diese Aufgabe lösen soll weiß ich leider überhaupt nicht.
Bei i) ist also ein b gesucht, sodass [mm] (\bruch{1}{b})_4 [/mm] = [mm] 0,\overline{0001001} [/mm] ist. Also eine Vorperiodenlänge 0 und Periodenlänge 7 hat.
Das einzige was ich jetzt im Script gefunden habe ist:
[mm] \bruch{a}{b}=\bruch{B}{g^l(g^p-1)} [/mm] für ein [mm] B\in \mathbb{N}, [/mm] wobei l der Vorperiodenlänge und p der Periodenlänge entspricht.
Auf die Aufgabe übertragen, steht dann da:
[mm] \bruch{1}{b}=\bruch{B}{4^0(4^7-1)}=\bruch{B}{16383}
[/mm]
Bringt mir das was? Kann ich irgendwas über das B aussagen?
Gruß
congo
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Hallo congohoango,
> i) Berechnen Sie b [mm]\in \mathbb{N}[/mm] so, dass
> [mm]0,\overline{0001001}[/mm] die 4-adische Darstellung von
> [mm]\bruch{1}{b}[/mm] ist.
>
> ii) Geben Sie die 2-adische Darstellung von [mm]\bruch{1}{b}[/mm]
> an.
>
> iii) Welche Periodenläöngen können bei einer g-adischen
> Darstellung von [mm]\bruch{1}{b}[/mm] genau auftreten? Geben Sie
> jeweils ein zugehöriges g [mm]\in \mathbb{N},[/mm] g > 1 an.
> Hallo,
>
> ich bins mal wieder
>
> Lerne gerade für eine Klausur und gehe alte
> Klausuraufgaben durch und bin dabei immer wieder über
> diesen Aufgabentyp gestolpert...
>
> Das Problem ist: Wir haben bisher immer nur normal
> umgerechnet in den Zahlensystemen. Sprich ich könnte die
> 4-adische Dst. von [mm]\bruch{1}{24}[/mm] z.B. ausrechnen. Aber wie
> ich diese Aufgabe lösen soll weiß ich leider überhaupt
> nicht.
>
> Bei i) ist also ein b gesucht, sodass [mm](\bruch{1}{b})_4[/mm] =
> [mm]0,\overline{0001001}[/mm] ist. Also eine Vorperiodenlänge 0 und
> Periodenlänge 7 hat.
>
> Das einzige was ich jetzt im Script gefunden habe ist:
>
> [mm]\bruch{a}{b}=\bruch{B}{g^l(g^p-1)}[/mm] für ein [mm]B\in \mathbb{N},[/mm]
> wobei l der Vorperiodenlänge und p der Periodenlänge
> entspricht.
>
> Auf die Aufgabe übertragen, steht dann da:
>
> [mm]\bruch{1}{b}=\bruch{B}{4^0(4^7-1)}=\bruch{B}{16383}[/mm]
>
> Bringt mir das was? Kann ich irgendwas über das B
> aussagen?
B muß ein Teiler von 16383 sein.
Schreibe die g-adische Darstellung als Dezimalzahl:
[mm]0,\overline{0001001}_{4}=0*\bruch{1}{4}+0*\bruch{1}{4^{2}}+0*\bruch{1}{4^{3}}+1*\bruch{1}{4^{4}}+0*\bruch{1}{4^{5}}+0*\bruch{1}{4^{6}}+1*\bruch{1}{4^{7}}[/mm]
[mm]+0*\bruch{1}{4^{8}}+0*\bruch{1}{4^{9}}+0*\bruch{1}{4^{10}}+1*\bruch{1}{4^{11}}+0*\bruch{1}{4^{12}}+0*\bruch{1}{4^{13}}+1*\bruch{1}{4^{14}}+ \ ... [/mm]
Dann stellst Du fest, dass das nicht möglich ist.
Um dennoch ein [mm]b\in \IN[/mm] zu finden,
muß die g-adische Darstellung so aussehen:
[mm]0,0\overline{001001}_{4}[/mm]
>
> Gruß
> congo
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:39 So 25.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > i) Berechnen Sie b [mm]\in \mathbb{N}[/mm] so, dass
> > [mm]0,\overline{0001001}[/mm] die 4-adische Darstellung von
> > [mm]\bruch{1}{b}[/mm] ist.
Man kann das ganze auch ueber die geometrische Reihe ausrechnen. Das ganze ist ja [mm] $(4^0 [/mm] + [mm] 4^3) \cdot \sum_{i=1}^\infty 4^{-7 i}$. [/mm] Und nach der geometrischen Reihe ist dies $65 [mm] \cdot \frac{4^{-7}}{1 - 4^{-7}} [/mm] = [mm] \frac{65}{4^7 - 1} [/mm] = [mm] \frac{65}{16383}$. [/mm] Das ist ein gekuerzter Bruch, also definitiv nicht von der Form [mm] $\frac{1}{b}$.
[/mm]
> Um dennoch ein [mm]b\in \IN[/mm] zu finden,
> muß die g-adische Darstellung so aussehen:
>
> [mm]0,0\overline{001001}_{4}[/mm]
Dann koennte man auch gleich [mm] $0{,}0\overline{001}_4$ [/mm] schreiben 
(Gehen wuerde auch [mm] $0{,}\overline{001}_4$.)
[/mm]
LG Felix
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