2x3 Matrix, Basen bestimmen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Fr 13.06.2008 | | Autor: | tete |
| Aufgabe | 1.
Sei F: [mm] \IR^3 \to \IR^2 [/mm] durch die Matrix [mm] \pmat{ 2 & 1 & 3 \\ -4 & -2 & -6 } [/mm] gegeben.
Bestimmen Sie Basen [mm] B=(u,v_1,v_2) [/mm] von [mm] \IR^3 [/mm] und [mm] C=(w_1,w_2) [/mm] von [mm] \IR^2, [/mm] sodass gilt:
ker [mm] F=L_K(v_1,v_2), [/mm] im [mm] F=L_K(w_1) [/mm] und [mm] F(u)=w_1.
[/mm]
2.
Seien V und W K-Vektorräume, [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] Unterräume von V und F: V [mm] \to [/mm] W ein Isomorphismus.Zeigen Sie, dass dann aus [mm] V=U_1 \oplus U_2 [/mm] folgt, dass [mm] W=F(U_1) \oplus F(U_2) [/mm] ist.
3.
Sei [mm] \nu: \IR^2 \to \IR^3 [/mm] die lineare Abbildung mit [mm] \nu((x,y))=(x-y,y-x,x). [/mm] Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis von ker [mm] \nu [/mm] und im [mm] \nu. [/mm] |
zu 1.
habe ich noch nicht so die Ahnung, wäre über Hilfe sehr dankbar!
zu 2.
Hier habe ich folgendes, ich hoffe ihr schaut mal drüber und bestätigt, verbessert oder gibt Tipps:
Da F ein Isomorphismus ist, d.h. F ist linear und bijektiv, folgt:
[mm] \forall \overline{x} \in F(U_1) \exists! [/mm] x [mm] \in U_1: F(x)=\overline{x} [/mm] und
[mm] \forall \overline{y} \in F(U_2) \exists! [/mm] y [mm] \in U_2: F(y)=\overline{y}
[/mm]
d.h. also, da F bijektiv, gibt es genau eine eindeutige Zuordnung der Elemente aus V [mm] \to [/mm] W
Da weiterhin gilt, dass [mm] V=U_1 \oplus U_2 \Rightarrow W=F(U_1) \oplus F(U_2) [/mm]
[mm] \Box
[/mm]
zu 3.
also hier würde ich sagen, dass die Dimension =3 ist, da das Bild [mm] \in \IR^3 [/mm] ist. Eine Basis vom Bild [mm] \in \IR^3 [/mm] wäre demnach [mm] B=({\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{ 0 \\ 1 \\ 0},\vektor{ 0 \\ 0 \\ 1}}) [/mm] wie nun aber der Kern aussieht ... da brauche ich eure Hilfe.
Also ich danke euch schon mal für eure Mühe und hoffe ihr könnt mir helfen!
LG tete ![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Fr 13.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Bist Du sicher, dass Du die Matrix richtig widergegeben hast ?
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, ist der Kern von F eindimensional.
Laut Aufgabenstellung soll er aber die Dimension 2 haben.
FRED
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Fr 13.06.2008 | | Autor: | tete |
Upps, du hast tatsächlich recht, der Eintrag 23 ist -6 nicht -3! SorrY!
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> 1.
> Sei F: [mm]\IR^3 \to \IR^2[/mm] durch die Matrix [mm]\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ -4 & -2 & -6 }[/mm]
> gegeben.
> Bestimmen Sie Basen [mm]B=(u,v_1,v_2)[/mm] von [mm]\IR^3[/mm] und
> [mm]C=(w_1,w_2)[/mm] von [mm]\IR^2,[/mm] sodass gilt:
> ker [mm]F=L_K(v_1,v_2),[/mm] im [mm]F=L_K(w_1)[/mm] und [mm]F(u)=w_1.[/mm]
> zu 1.
> habe ich noch nicht so die Ahnung, wäre über Hilfe sehr
> dankbar!
Hallo,
hinter "nicht so die Ahnung" kann sich ganz viel verbergen. Man müßte schon genauer wissen, was Du nicht kannst.
Da vom kern die Rede ist, ist es mehr als naheliegend, diesen erstmal auszurechnen.
Kannst Du eine Basis des Kerns nennen?
Ergänze diese Basis dann zu einer Basis des [mm] \IR^3. [/mm] Dem Bild dieses Ergänzungsvektor bleibt gar nichts anderes übrig als ein von Null verschiedenes Element des Bildes zu sein.
>
> 2.
> Seien V und W K-Vektorräume, [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] Unterräume von V
> und F: V [mm]\to[/mm] W ein Isomorphismus.Zeigen Sie, dass dann aus
> [mm]V=U_1 \oplus U_2[/mm] folgt, dass [mm]W=F(U_1) \oplus F(U_2)[/mm] ist.
>
> zu 2.
> Hier habe ich folgendes, ich hoffe ihr schaut mal drüber
> und bestätigt, verbessert oder gibt Tipps:
>
> Da F ein Isomorphismus ist, d.h. F ist linear und bijektiv,
> folgt:
> [mm]\forall \overline{x} \in F(U_1) \exists![/mm] x [mm]\in U_1: F(x)=\overline{x}[/mm]
> und
> [mm]\forall \overline{y} \in F(U_2) \exists![/mm] y [mm]\in U_2: F(y)=\overline{y}[/mm]
>
> d.h. also, da F bijektiv, gibt es genau eine eindeutige
> Zuordnung der Elemente aus V [mm]\to[/mm] W
>
> Da weiterhin gilt, dass [mm]V=U_1 \oplus U_2 \Rightarrow W=F(U_1) \oplus F(U_2)[/mm]
Diesem Schluß kann ich nicht folgen. Da müßtest Du noch etwas Überzeugungsarbeit leisten.
Im Grunde hast Du nichts anderes getan als zu sagen, was ein Isomorphismus ist, und dann geschrieben: daher gilt die Aussage.
Ich weiß ja nicht, was über "direkte Summe" so alles dran war.
Entweder Du gehst zur Definition und rechnest vor, daß W wirklich die Summe der beiden Räume ist und daß der Schnitt der beiden Räume nur die Null beinhaltet, oder Du zeigst, daß man jedes Element aus W eindeutig als Summe von einem Element aus [mm] F(U_1) [/mm] und einem aus [mm] F(U_2) [/mm] schreiben kann.
>
>
> 3.
> Sei [mm]\nu: \IR^2 \to \IR^3[/mm] die lineare Abbildung mit
> [mm]\nu((x,y))=(x-y,y-x,x).[/mm] Bestimmen Sie die Dimension und
> eine Basis von ker [mm]\nu[/mm] und im [mm]\nu.[/mm]
> zu 3.
> also hier würde ich sagen, dass die Dimension =3 ist, da
> das Bild [mm]\in \IR^3[/mm] ist.
Bist Du Dir sicher, daß diese Argumentation stimmt?
Schau:
Wenn ich mir eine Gerade durch die Null im [mm] \IR^3 [/mm] anschaue, ist hat dieser UVR doch keineswegs die Dimension 3.
> Eine Basis vom Bild [mm]\in \IR^3[/mm] wäre
> demnach [mm]B=({\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{ 0 \\ 1 \\ 0},\vektor{ 0 \\ 0 \\ 1}})[/mm]
> wie nun aber der Kern aussieht ... da brauche ich eure
> Hilfe.
Es ist doch
[mm] \nu((x,y))=(x-y,y-x,x)=x\vektor{1 \\ -1\\1}+ y\vektor{-1 \\ 1\\0}.
[/mm]
Welche vektoren spannen also das Bild auf.
Den Kern kannst Du berechnen, wenn Du die Definition des Kernes kennst.
Der kern ist all das, was auf die Null abgebildet wird.
Also [mm] \vektor{x \\ y\\z} \in kern\nu [/mm] <==> [mm] Null=\nu\vektor{x \\ y\\z}.
[/mm]
Damit sollte der Plan stehen.
Gruß v. Angela
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