2 Zufallsvariablen unabhängig < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 So 27.11.2011 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | | Sei X standardnormalverteilt. Zeige: Y=|X| und [mm] Z=\chi_{\{X>0\}} [/mm] sind unabhängig. |
Hi!
Zeigen muss ich ja im Prinzip nur
$P(Y [mm] \le [/mm] y, Z [mm] \le [/mm] z)=P(Y [mm] \le [/mm] y)*P(Z [mm] \le [/mm] z)$, oder?
Aber ich weiß nicht, wie ich das machen kann. Ich habe nur erst mal die beiden Verteilungsfunktionen berechnet.
Es gilt
$P(Y [mm] \le [/mm] y)=(2*P(X [mm] \le y)-1)*\chi_{\{y \ge 0\}}$ [/mm] und
P(Z [mm] \le [/mm] z)=1 für $t [mm] \ge [/mm] 1$, [mm] =\frac{1}{2} [/mm] für $0 [mm] \le [/mm] t < 1$ und =0 für $t<0$.
Kann mir jemand einen Ansatz geben?
Danke!
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Hallo Teufel,
> Sei X standardnormalverteilt. Zeige: Y=|X| und [mm]Z=\chi_{\{X>0\}}[/mm] sind unabhängig.
> Hi!
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> Zeigen muss ich ja im Prinzip nur
> [mm]P(Y \le y, Z \le z)=P(Y \le y)*P(Z \le z)[/mm], oder?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !
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> Aber ich weiß nicht, wie ich das machen kann. Ich habe nur
> erst mal die beiden Verteilungsfunktionen berechnet.
>
> Es gilt [mm]P(Y \le y)=(2*P(X \le y)-1)*\chi_{\{y \ge 0\}}[/mm] und
Hier habe ich
[mm] $P(Y\leq [/mm] y)=2(P(X [mm] \le 0)-P(X<-y))\cdot\chi_{\{y \ge 0\}}$.
[/mm]
> P(Z [mm]\le[/mm] z)=1 für [mm]t \ge 1[/mm], [mm]=\frac{1}{2}[/mm] für [mm]0 \le t < 1[/mm] und =0 für [mm]t<0[/mm]
Ok,
[mm] P(Z\leq z)=\begin{cases}0,& z<0\\1/2,&0\leq z<1\\1,&z\geq1\end{cases}.
[/mm]
Es bleibt noch die Frage, wie $P(Y [mm] \le [/mm] y, Z [mm] \le [/mm] z)$ berechnet werden kann. Ich habe mir das gerade skizziert, da sieht man ganz gut, dass
P(Y [mm] \le [/mm] y, Z [mm] \le z)=\begin{cases}0, & y\leq0\text{ oder }z<0\\P(Y\leq y),&y>0, z\geq1\\P(X\in[-y,0]),&\text{sonst} \end{cases}.
[/mm]
Damit kannst Du leicht nachrechnen, dass zuerst genannte Gleichung erfüllt ist.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 So 27.11.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Vielen Dank. Ich wusste nicht genau, wie ich die gemeinsame Verteilung bestimmen kann, aber das sieht ja ganz einfach aus.
Ich arbeite damit dann mal weiter, danke!
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