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2 Tangenten an Parabel: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:12 Mi 11.11.2009
Autor: Blumentopf87

Aufgabe
Gegeben ist die Funktion der Parabel f(x)=x²-x und der Punkt P(2;1). Der Punkt P liegt außerhalb der Parabel.
Es sollen die beiden Tangenten an der Parabel bestimmt werden, die durch den Punkt P verlaufen.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo! Ich weiß nicht so recht wie ich anfangen soll, das der Punkt P nicht auf f liegt. Wie kann ich von dort aus 2 Tangenten bestimmen?
Vielen Dank schon mal im Vorraus!

        
Bezug
2 Tangenten an Parabel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:37 Mi 11.11.2009
Autor: Steffi21

Hallo,

für die Funktion und die Tangenten (y=m*x+n) gilt: es gibt eine (zwei) Stellen, an denen stimmen Funktion und Tangente sowie 1. Ableitung der Funktion und 1. Ableitung der Tangenten überein:

(1) [mm] x^{2}-x=m*x+n [/mm]
(2) 2x-1=m

weiterhin ist schon ein Punkt der Tangenten bekannt (2;1), daraus ergibt sich 1=2*m+n, somit Gleichung

(3) n=1-2m

setze jetzt (2) und (3) in (1) ein, du hast dann eine quadratische Gleichung, mit denen du die Berührstellen von Funktion und Tangenten berechnen kannst

Steffi


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2 Tangenten an Parabel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:47 Do 12.11.2009
Autor: Blumentopf87

Vielen Dank ersteinmal für die Antwort!
Wenn ich (2) und (3) in (1) einsetze erhalte ich:

x²-x=2x²-x+1-2m

und das umgestellt:

0=x²-2m+1

wenn ich daraus dann mit Hilfe der p-q-Formel die Stellen ausrechnen will (und es müssten ja eigentlich 2 Stellen sein), bekomme ich aber nur eine:

x=1

Habe ich einen Fehler gemacht?
Oder gibt es vielleicht eine andere Möglichkeit, die Tangenten ohne Verwendung von Ableitungen zu berechnen?
Danke

Bezug
                        
Bezug
2 Tangenten an Parabel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:56 Do 12.11.2009
Autor: M.Rex

Hallo

> Vielen Dank ersteinmal für die Antwort!
>  Wenn ich (2) und (3) in (1) einsetze erhalte ich:
>
> x²-x=2x²-x+1-2m

Nicht ganz:

Du hast die Tangentengleichung t(x)=mx+n
Mit n=1-2m ergibt sich: t(x)=mx+1-2m
Mit m=2x-1 also: t(x)=(2x-1)*x+1-2(2x-1)=2x²-x+1+4x-2=2x²+3x-1

Also hast du die Gleichung [mm] \underbrace{x^{2}-x}_{f(x)}=\underbrace{2x^{2}+3x-1}_{t(x)} [/mm] zu lösen

Marius

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Bezug
2 Tangenten an Parabel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:26 Do 12.11.2009
Autor: Blumentopf87

Ok, danke, ich hab den Fehler erkannt:
ich erhalte nach dem Umstellen: 0=x²+4x-1
Für meine beiden x-werte habe ich folgendes:
x1= -2+wurzel5 und x2= -2-wurzel5

Das sind jetzt also die x-werte der Berührungspunkte der Tangenten an f.
meine Punkte hab ich jetzt wie folgt bestimmt:

S1(-2+wurzel5/ 9+wurzel5)
S2(-2-wurzel5/ 17+3*wurzel5)

Ist das korrekt???


Bezug
                                        
Bezug
2 Tangenten an Parabel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:44 Do 12.11.2009
Autor: M.Rex


> Ok, danke, ich hab den Fehler erkannt:
>  ich erhalte nach dem Umstellen: 0=x²+4x-1

[daumenhoch]

>  Für meine beiden x-werte habe ich folgendes:
> x1= -2+wurzel5 und x2= -2-wurzel5

[daumenhoch]

>  
> Das sind jetzt also die x-werte der Berührungspunkte der
> Tangenten an f.
>  meine Punkte hab ich jetzt wie folgt bestimmt:
>  
> S1(-2+wurzel5/ 9+wurzel5)
>  S2(-2-wurzel5/ 17+3*wurzel5)
>  
> Ist das korrekt???

Nicht ganz:

[mm] f(-2+\wurzel{5})= [/mm]
[mm] =(-2+\wurzel{5})^{2}-(-2+\wurzel{5}) [/mm]
[mm] =4-4\wurzel{5}+5+2-\wurzel{5} [/mm]
[mm] =11-5\wurzel{5} [/mm]

Und

[mm] f(-2-\wurzel{5}) [/mm]
[mm] =(-2-\wurzel{5})^{2}-(-2-\wurzel{5}) [/mm]
[mm] =4+4\wurzel{5}+5+2+\wurzel{5} [/mm]
[mm] =11+5\wurzel{5} [/mm]

(sofern ich mich jetzt nicht verrechnet habe)

>  

Marius

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2 Tangenten an Parabel: Achtung Achtung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:46 Do 12.11.2009
Autor: Steffi21

Hallo,

du hast

[mm] x^{2}-x=m*x+n [/mm] einsetzen m=2x-1 und n=1-2m

[mm] x^{2}-x=(2x-1)*x+1-2m [/mm] jetzt wieder m=2x-1 einsetzen

[mm] x^{2}-x=(2x-1)*x+1-2(2x-1) [/mm]

[mm] x^{2}-x=2x^{2}-x+1-4x+2 [/mm]

[mm] 0=x^{2}-4x+3 [/mm]

[mm] x_1=1 [/mm] und [mm] x_2=3 [/mm]

[Dateianhang nicht öffentlich]

Steffi

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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