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Hallo,
hab hier eine Aufgabe zu Grenzwerten, bei der ich überhaupt nicht weiterkomme, da einmal [mm] \bruch{0}{0} [/mm] rauskommen würde und einmal [mm] \infty-\infty.
[/mm]
Es handelt sich dabei um folgende zwei Folgen:
1) [mm] \bruch{x^{m}-1}{x^{n}-1} [/mm] für x [mm] \mapsto [/mm] 1, wobei [mm] n,m\in \IZ\setminus{0}
[/mm]
2) [mm] \wurzel{(x+a)(x+b)}-x [/mm] für x [mm] \mapsto \infty, [/mm] wobei [mm] a,b\in \IR
[/mm]
Kann es auch sein, dass der Grenzwert von den Parametern abhängt?
Ich hoffe es kann wer helfen...
mfg
Berndte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Berndte,
bei dem ersten Grenzwert würde ich die  LHospitalscheRegel anwenden. Bei dem zweiten Grenzwert kann man entweder ausmultiplzieren und $x$ teilweise Radizieren. Alternativ kann man den Grenzwert [mm] $\infty+\infty$ [/mm] gut einschätzen, deshalb bietet es sich an den Term so zu erweitern, dass man mit der 3. Binomischen Formel den Zähler so vereinfacht, dass dort nicht mehr das störende [mm] $\infty [/mm] - [mm] \infty$ [/mm] übrig beleibt.
Gruß Max
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Ok, danke erstmal!
Also ersteres ist mir jetzt klar:
[mm] \limes_{x\rightarrow1}\left(\bruch{x^{m}-1}{x^{n}-1}\right) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow1}\left(\bruch{m*x^{m-1}}{n*x^{n-1}}\right) [/mm] = [mm] \bruch{m}{n}
[/mm]
Bei der zweiten Folge hab ich nun folgendermaßen erweitert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\left(\wurzel{(x+a)(x+b)}-x\right) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\left(\bruch{(x+a)(x+b)-x^{2}}{\wurzel{(x+a)(x+b)}+x}\right) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\left(\bruch{x*(a+b)+ab}{\wurzel{(x+a)(x+b)}+x}\right)
[/mm]
Nun hab ich ja quasi den Ausdruck:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\left(\bruch{\infty}{\infty+\infty}\right)
[/mm]
Das sieht ja ganz so aus, als ob das Ganze gegen 0 konvergiert. Kann man das auch noch sauber irgendwie zeigen?
Danke
mfg
Berndte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Berndte!
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\left(\bruch{x*(a+b)+ab}{\wurzel{(x+a)(x+b)}+x}\right)[/mm]
>
> Nun hab ich ja quasi den Ausdruck:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\left(\bruch{\infty}{\infty+\infty}\right)[/mm]
>
> Das sieht ja ganz so aus, als ob das Ganze gegen 0
> konvergiert. Kann man das auch noch sauber irgendwie
> zeigen?
Klammere in der Wurzel doch mal [mm] $x^2$ [/mm] aus und anschließend in Nenner und Zähler jeweils $x$. Dies kannst Du dann kürzen und anschließend Deine Grenzwertbetrachtung durchführen (ähnliches Beispiel).
Dann wirst Du auch den Grenzwert erkennen.
Gruß
Loddar
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Alles klar, danke, jetzt ist der Groschen gefallen!!!
mfg
Berndte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:41 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Berndte!
Und, wie lautet nun Dein Ergebnis für die 2. Aufgabe?
Gruß
Loddar
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Das Ergebnis ist [mm] \bruch{a+b}{2}, [/mm] hatte ich grad total vergessen mit hinzuschreiben :)
mfg
Berndte
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Berndte!
> Das Ergebnis ist [mm]\bruch{a+b}{2}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Das habe ich auch erhalten!
Gruß
Loddar
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Hallo Berndte
1) ok
2): "Kürze"mal durch x ( in der ausmultiplizierten [mm] $\sqrt{..}$ [/mm] natürlich alles durch [mm] $x^2$ [/mm] Teilen )
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