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2 Funkt. als Lsg. einer DLG: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:29 So 06.12.2015
Autor: pam22

Aufgabe
Es seien folgende Funktionen:

[mm] y_{1}=\begin{cases} x^{2}, & \mbox{für } x\in(-1,0) \\ 0, & \mbox{für } x\in[0,1) \end{cases} [/mm]

[mm] y_{2}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\in(-1,0) \\ x^{2}, & \mbox{für } x\in[0,1) \end{cases} [/mm]

a) Untersuchen Sie die lineare Unabhängigkeit der Funktionen [mm] y_{1} [/mm] und [mm] y_{2}. [/mm]

b) Ist es möglich, dass [mm] y_{1} [/mm] und [mm] y_{2} [/mm] Lösungen der gleichen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung sind?

Hallo,

ich habe hier vor allem mit dem zweiten Teil ein Verständnisproblem.

Aber erstmal zu a):

Laut Definition gilt ja: [mm] \lambda_{1}y_{1}+ \lambda_{2}y_{2}=0 \gdw y_{1},y_{2} [/mm] linear unabh.
Und: [mm] \lambda_{1}=\lambda_{2}=0 \gdw y_{1},y_{2} [/mm] linear abh.

[mm] \Rightarrow \lambda_{1}x^{2}+ \lambda_{2}0=0 [/mm] für [mm] x\in(-1,0) [/mm]
[mm] \lambda_{1}x^{2}=0 [/mm]
[mm] \lambda_{1}=0 [/mm]
[mm] \lambda_{1}0+ \lambda_{2}x^{2}=0 [/mm] für [mm] x\in[0,1) [/mm]
[mm] \lambda_{2}x^{2}=0 [/mm]
[mm] \lambda_{2}=0 [/mm]

[mm] \Rightarrow y_{1},y_{2} [/mm] sind linear abhängig

Für b) hab ich leider keinen Ansatz, weil ich nicht wirklich verstehe wonach gefragt ist. Ist die Lösung der Differentialgleichung etwa in der Form [mm] y=y_{1}e^{\lambda_{1}x}+y_{2}e^{\lambda_{2}x}, [/mm] oder liege ich da komplett falsch?

Ich würde mich um Hilfe sehr freuen!!

Vielen Dank im vorraus,
pam

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
2 Funkt. als Lsg. einer DLG: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:53 So 06.12.2015
Autor: HJKweseleit


> Es seien folgende Funktionen:
>  
> [mm]y_{1}=\begin{cases} x^{2}, & \mbox{für } x\in(-1,0) \\ 0, & \mbox{für } x\in[0,1) \end{cases}[/mm]
>  
> [mm]y_{2}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\in(-1,0) \\ x^{2}, & \mbox{für } x\in[0,1) \end{cases}[/mm]
>  
> a) Untersuchen Sie die lineare Unabhängigkeit der
> Funktionen [mm]y_{1}[/mm] und [mm]y_{2}.[/mm]
>  
> b) Ist es möglich, dass [mm]y_{1}[/mm] und [mm]y_{2}[/mm] Lösungen der
> gleichen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung sind?
>  Hallo,
>  
> ich habe hier vor allem mit dem zweiten Teil ein
> Verständnisproblem.
>  
> Aber erstmal zu a):
>  
> Laut Definition gilt ja: [mm]\lambda_{1}y_{1}+ \lambda_{2}y_{2}=0 \gdw y_{1},y_{2}[/mm]
> linear unabh.
>  Und: [mm]\lambda_{1}=\lambda_{2}=0 \gdw y_{1},y_{2}[/mm] linear
> abh.




[notok]

Du verwechselst hier etwas ganz böse, und das musst du sofort klar kriegen, bevor es sich falsch einprägt, denn den Begriff der lin. Abhängigkeit/Unabhängigkeit brauchst du andauernd.

Lin. UNabhängig heißt anschaulich, die Dinger haben NICHTS miteinander zu tun (sind unabhängig voneinander), und das heißt: Du kannst keinen mit Hilfe der anderen ausdrücken (als Lin.Komb.). Wäre also [mm] y_1 [/mm] = [mm] k*y_2, [/mm] so wäre [mm] 1*y_1+(-k)*y_2=0. [/mm] Hier wären also [mm] \lambda_1=1 \ne [/mm] 0 und [mm] \lambda_2=-k [/mm] (und dann ja wohl auch [mm] \ne [/mm] 0).

Damit das NICHT geht, sagt man:


[mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] sind linear UNabhängig! [mm] \gdw [/mm]
Die Gleichung [mm]\lambda_1*y_1+\lambda_2*y_2=0 [/mm] hat nur die Lösung [mm]\lambda_1= \lambda_2 = 0[/mm]


>  
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1}x^{2}+ \lambda_{2}0=0[/mm] für
> [mm]x\in(-1,0)[/mm]
>  [mm]\lambda_{1}x^{2}=0[/mm]
>  [mm]\lambda_{1}=0[/mm], da x [mm] \ne [/mm] 0
>  [mm]\lambda_{1}0+ \lambda_{2}x^{2}=0[/mm] für [mm]x\in[0,1)[/mm]
>  [mm]\lambda_{2}x^{2}=0[/mm]
>  [mm]\lambda_{2}=0[/mm], da x [mm] \ne [/mm] 0
>  
> [mm]\Rightarrow y_{1},y_{2}[/mm] sind linear UNabhängig
>  
> Für b) hab ich leider keinen Ansatz, weil ich nicht
> wirklich verstehe wonach gefragt ist. Ist die Lösung der
> Differentialgleichung etwa in der Form
> [mm]y=y_{1}e^{\lambda_{1}x}+y_{2}e^{\lambda_{2}x},[/mm] oder liege
> ich da komplett falsch?




Nein, du sollst eine Diffgl. mit nur y haben, wobei aber für y zwei verschiedene Lösungen existieren, nämlich [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2. [/mm]

Evtl. kann folgendes helfen:

[mm] y_1 [/mm] = [mm] \bruch{x}{2}*(x-\wurzel{x^2})=\bruch{x}{2}*(x-|x|)=\begin{cases} \bruch{x}{2}*(x+x)= x^2, & \mbox{für } x\in(-1,0) \\ \bruch{x}{2}*(x-x)= 0, & \mbox{für } x\in[0,1) \end{cases} [/mm]

sowie

[mm] y_1 [/mm] = [mm] \bruch{x}{2}*(x+\wurzel{x^2})=\bruch{x}{2}*(x+|x|)=\begin{cases} \bruch{x}{2}*(x-x)= 0, & \mbox{für } x\in(-1,0) \\ \bruch{x}{2}*(x+x)= x^2, & \mbox{für } x\in[0,1) \end{cases}. [/mm]

(Merke: [mm] \wurzel{x^2} [/mm] = |x| [mm] \ne [/mm] x.)

Nun musst du eine für beide Funktionen gemeinsame Diffgl. 2. Grades finden...
(Es gibt sogar eine 1. Grades - du musst nur [mm] y_1 [/mm] bzw [mm] y_2 [/mm] ableiten und [mm] y_1' [/mm] so mit [mm] y_1 [/mm] bzw [mm] y_2' [/mm] so mit [mm] y_2 [/mm] verknüpfen, dass dabei die beiden Wurzelterme mit den unterschiedlichen Vorzeichen wegfallen. Dann sehen beide Diffgl. gleich aus.)



>  
> Ich würde mich um Hilfe sehr freuen!!
>  
> Vielen Dank im vorraus,
>  pam
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
2 Funkt. als Lsg. einer DLG: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:37 So 06.12.2015
Autor: pam22

Vielen Dank!! Super Ansatz! Und auch danke fuer deine Korrektur.

Ich habs jetzt endlich raus!

Die Differenzialgleichung muesste folgendermassen aufgehen:

[mm] x^{2}y''-xy'=0 [/mm]

Probe:

[mm] y_{1}=\bruch{x}{2}(x-\wurzel{x^{2}}) [/mm]
[mm] y'_{1}=x-\wurzel{x^{2}} [/mm]
[mm] y''_{1}=1-\bruch{\wurzel{x^{2}}}{x} [/mm]

[mm] y_{2}=\bruch{x}{2}(x+\wurzel{x^{2}}) [/mm]
[mm] y'_{2}=x+\wurzel{x^{2}} [/mm]
[mm] y''_{2}=1+\bruch{\wurzel{x^{2}}}{x} [/mm]

Probe mit [mm] y_{1}: [/mm]
[mm] x^{2}y''_{1}-xy'_{1}= [/mm]
[mm] =x^{2}(1-\bruch{\wurzel{x^{2}}}{x})-x(x-\wurzel{x^{2}})= [/mm]
[mm] =x^{2}-x\wurzel{x^{2}}-x+x\wurzel{x^{2}} [/mm]
=0

Probe mit [mm] y_{2}: [/mm]
[mm] x^{2}y''_{2}-xy'_{2}= [/mm]
[mm] =x^{2}(1+\bruch{\wurzel{x^{2}}}{x})-x(x+\wurzel{x^{2}})= [/mm]
[mm] =x^{2}+x\wurzel{x^{2}}-x-x\wurzel{x^{2}} [/mm]
=0

Damit gibt es eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung, deren Loesungen [mm] y_{1} [/mm] und [mm] y_{2} [/mm] sind.

Ich hoffe, so ist alles richtig.

Bezug
                        
Bezug
2 Funkt. als Lsg. einer DLG: ok
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:18 Mo 07.12.2015
Autor: HJKweseleit

Passt genau!

Bezug
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