2 Extremwertaufgaben < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:11 Do 09.06.2005 | | Autor: | Ithil |
Guten Morgen zusammen,
Ich stecke grade Hals über Kopf in den Vorbereitungen zum mündlichen Abi in Mathe und komme leider mit folgender Aufgabe nicht mehr ganz zurecht.
Gegeben sei die Funktion f(x) = - [mm] x^{2} [/mm] + 4 die mit der x-Achse eine Fläche einschliesst.
a) Beschreiben Sie dieser Fläche ein achsenpralleles Rechteck mit möglichst großem Inhalt ein.
b) Beschreiben Sie der Fläche ein zur y-Achse symmetrisches gleichschenkliges Dreieck mit möglichst großem Inhalt ein, dessen Spitze auf (0|0) liegt.
Allein bei der Aufgabenstellung haperts schon, was ist mit dem "beschreiben" gemeint, so wurd es im Untericht nie formuliert.
Wir haben immer lediglich die maximale Fläche brechnet.
Müssen hier auch noch Länge der Seiten und Winkel angegeben werden?
Nunja meine Ansätze sehen so aus, dass ich mcih auf die Fläche bezogen habe
a)
Meine Zielfunktion ist A(Fläche) = a * b
a = f(x)
b = x
somit ergibt sich A = (- [mm] x^{2} [/mm] + 4) * x = - [mm] x^{3} [/mm] + 4x
einmal ableiten und Extrema berechnen:
A´= [mm] -3x^{2} [/mm] + 4 --> x = + wurzel aus [mm] \bruch{4}{3} [/mm] , - wurzel aus [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
2te Ableitung bilden und Extrema einsetzen:
A´´= -6x -> daraus lässt schliessen das bei (+ wurzel aus [mm] \bruch{4}{3}|y) [/mm] ein HP liegt.
Nun setze ich diesen wert (+ wurzel aus [mm] \bruch{4}{3}) [/mm] in A = - [mm] x^{3} [/mm] + 4x ein und errechne die Fläche. -> 3,0792 FE
Die Fläche die ich dort errechnet habe, bezieht die sich nur auf den ersten Quadranten oder auf alle? Wenn es nur der erste ist müsste man sie noch verdoppeln? Stimmen meine Rechnungen in etwa?
zu b)
Hier hängts bei der Zielfunktion.
Berrechne ich jetzt hier nur die Hälfte des Dreiecks im ersten quadranten oder gleich Beide Hälften? Weil so ergeben sich unterschiedliche Zielfunktionen.
fürs Ganze:
A = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] c * h
fürs Halbe:
A = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] a * b
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:43 Do 09.06.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Ithil,
> Ich stecke grade Hals über Kopf in den Vorbereitungen zum
> mündlichen Abi in Mathe und komme leider mit folgender
> Aufgabe nicht mehr ganz zurecht.
>
> Gegeben sei die Funktion f(x) = - [mm]x^{2}[/mm] + 4 die mit der
> x-Achse eine Fläche einschliesst.
>
> a) Beschreiben Sie dieser Fläche ein achsenpralleles
> Rechteck mit möglichst großem Inhalt ein.
>
> b) Beschreiben Sie der Fläche ein zur y-Achse symmetrisches
> gleichschenkliges Dreieck mit möglichst großem Inhalt ein,
> dessen Spitze auf (0|0) liegt.
>
> Allein bei der Aufgabenstellung haperts schon, was ist mit
> dem "beschreiben" gemeint, so wurd es im Untericht nie
> formuliert.
Einbeschreiben heißt, dass Eckpunkte auf dem Graphen liegen, Wie du es ja in deinem Ansatz auch vorausgesetzt hast.
> Wir haben immer lediglich die maximale Fläche brechnet.
> Müssen hier auch noch Länge der Seiten und Winkel
> angegeben werden?
Nein, höchstens die Eckpunkte.
>
> Nunja meine Ansätze sehen so aus, dass ich mcih auf die
> Fläche bezogen habe
>
> a)
> Meine Zielfunktion ist A(Fläche) = a * b
> a = f(x)
> b = x
> somit ergibt sich A = (- [mm]x^{2}[/mm] + 4) * x = - [mm]x^{3}[/mm] + 4x
>
> einmal ableiten und Extrema berechnen:
> A´= [mm]-3x^{2}[/mm] + 4 --> x = + wurzel aus [mm]\bruch{4}{3}[/mm] , -
> wurzel aus [mm]\bruch{4}{3}[/mm]
>
> 2te Ableitung bilden und Extrema einsetzen:
> A´´= -6x -> daraus lässt schliessen das bei (+ wurzel aus
> [mm]\bruch{4}{3}|y)[/mm] ein HP liegt.
>
> Nun setze ich diesen wert (+ wurzel aus [mm]\bruch{4}{3})[/mm] in A
> = - [mm]x^{3}[/mm] + 4x ein und errechne die Fläche. -> 3,0792 FE
>
> Die Fläche die ich dort errechnet habe, bezieht die sich
> nur auf den ersten Quadranten oder auf alle? Wenn es nur
> der erste ist müsste man sie noch verdoppeln? Stimmen meine
> Rechnungen in etwa?
Deine Rechnung ist völlig korrekt ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
Das Ergebnis bezieht sich auf das Teilrechteck im ersten Quadranten. Du musst also die Fläche noch verdoppeln.
Es wird eventuell auch noch erwartet, dass du die Eckpunkte des Rechtecks angibst.
> zu b)
> Hier hängts bei der Zielfunktion.
> Berrechne ich jetzt hier nur die Hälfte des Dreiecks im
> ersten quadranten oder gleich Beide Hälften? Weil so
> ergeben sich unterschiedliche Zielfunktionen.
>
> fürs Ganze:
> A = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] c * h
>
> fürs Halbe:
> A = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] a * b
Im Prinzip kannst du mit beidem rechnen. Wenn du mit dem halben Dreick rechnest, musst du halt am Ende die Fläche verdoppeln.
Ganz sinnvoll ist auch folgender Ansatz. Du benennst den EcKpunkt des Dreiecks im 1. Quadranten mit P(x ; f(x)). Der Punkt liegt ja auf dem Graphen der Funktion.
Der Flächeninhalt des ganzen Dreiecks ist dann wegen [mm] A = \bruch{1}{2} \cdot g \cdot h [/mm]
[mm] A(x) = \bruch{1}{2} \cdot 2 \cdot x \cdot f(x) [/mm]
[mm] \gdw A(x) = x \cdot f(x) [/mm]
Die Höhe des Dreiecks ist ja gleich f(x).
Du siehst, dass das dieselbe Funktion ist wie die für das halbe Rechteck.
Gruß
Sigrid
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:46 Do 09.06.2005 | | Autor: | Ithil |
wow, das ging ja fix
Vielen Dank für die schnelle Antwort, hat mir sehr geholfen.
Merke auch garde man hätte einfach das Ergebniss aus a) halbieren können um auf die Fläche von dem Dreieck in b) zu kommen.
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