2Gleichungen mit 3unbekannten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Mi 27.06.2007 | | Autor: | cyp |
| Aufgabe | Bilden Sie aus a = (2;−1), b = (−1;3), c = (2;0) eine Linearkombination
dergestalt, dass der resultierende Vektor der Nullvektor ist! |
Hallo,
wie löst man Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen und 3 unbekannten?
Gibt es unendlich viele Lösungen und wie löst man das am Besten?
|
|
| |
|
> Bilden Sie aus a = (2;−1), b = (−1;3), c =
> (2;0) eine Linearkombination
> dergestalt, dass der resultierende Vektor der Nullvektor
> ist!
> Hallo,
>
> wie löst man Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen und 3
> unbekannten?
> Gibt es unendlich viele Lösungen
In der Regel ja.
> und wie löst man das am Besten?
In diesem Falle (ohne mit Kanonen auf Spatzen schiessen zu wollen): behandle eine Variable wie eine gegebene Konstante. Löse also das System, indem Du die dann noch verbleibenden beiden Variablen mit Hilfe der konstant gedachten ausdrückst. Am Ende kannst Du dann den Wert dieser konstant gedachten Variablen so wählen, dass eine hübsche spezielle Lösung herausschaut. (Spezielle Lösung: gesucht ist ja nur eine nicht-triviale Nullsumme, irgend eine genügt: Du musst nicht alle hinblättern - obschon dies, nach der bereits geleisteten Vorarbeit, nicht besonders schwierig wäre.)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mi 27.06.2007 | | Autor: | cyp |
Hallo,
wie sieht den der Lösungsweg aus?
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> wie sieht den der Lösungsweg aus?
Du findest, ich solle dies alles im Detail vorrechnen?
Also gut (es kann aber ein Weilchen dauern, bis ich den ganzen Müll eingetippt habe), seufz.
Also wir suchen eine nicht-triviale Nullsumme der drei gegebenen Vektoren. Seien [mm]x,y,z[/mm] die in einer solchen Nullsumme auftretenden Skalare. Es muss also gelten:
[mm]x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}=\vec{0}[/mm]
In Koordinaten ausgedrückt ergibt dies die beiden Gleichungen:
[mm]2x-y+2z = 0[/mm]
[mm]-x+3y = 0[/mm]
Da sich die zweite Gleichung leicht nach [mm]x[/mm] auflösen lässt, werde ich also versuchen, die beiden anderen Variablen mit Hilfe von [mm]y[/mm] auszudrücken. Danach haben wir eine allgemeine Lösung (mit frei wählbarem Parameter [mm]y\neq 0[/mm]). Es ist also [mm]x=3y[/mm].
Dies für [mm]x[/mm] in die erste Gleichung eingesetzt ergibt [mm]2\cdot 3y-y+2z = 0[/mm], woraus [mm]z=-\frac{5}{2}y[/mm] folgt.
Die Lösungsmenge unseres Gleichungssystems lautet somit
[mm]\mathcal{L}=\{\big(3y,y,-\frac{5}{2}y\big)\mid y\in \IR\}[/mm]
Darin ist natürlich auch der Fall der trivialen Nullsumme der drei Vektoren enthalten. Als Antwort auf die ursprüngliche Aufgabenstellung wählen wir nun aus dieser Lösungsmenge [mm]\mathcal{L}[/mm] einen hübschen speziellen Fall [mm]\neq (0,0,0)[/mm] aus. Also zum Beispiel einen Fall, bei dem keine Brüche auftreten und bei dem die Zahlen noch immer relativ klein sind. Setzen wir also etwa [mm]y=2[/mm], dann erhalten wir [mm]x=3\cdot 2=6[/mm] und [mm]z=-\frac{5}{2}\cdot 2=-5[/mm].
Insgesamt wäre also (sofern ich alles richtig gerechnet habe, was nicht absolut sicher ist, weil mir bei solchen Rechnungen jeweils die Motivation, und damit die nötige Aufmerksamkeit, leicht abhanden kommt) folgendes eine nicht-triviale Nullsumme der drei Vektoren:
[mm]6\vec{a}+2\vec{b}-5\vec{c}=\vec{0}[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 Mi 27.06.2007 | | Autor: | cyp |
Jo super danke für deine Arbeit.
Ich werde mich gleich mal ran setzen und mal ein paar Aufgaben dazu lösen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Mi 27.06.2007 | | Autor: | cyp |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Skalarprodukt von [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{1\\3\\2} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vektor{4\\2\\2} [/mm] und geben Sie einen zu a und b orthogonalen Vektor an. |
Hallo,
wie ich ein Skalar berechne und was ein orthogonaler Vektor ist, wäre mir klar. Ich kann ihn anhand des Kreuzproduktes berechne aber ich habe auch die Möglichkeit beliebig viele zu berechnen wie oben also 2 Gleichung und 3 unbekannte. Hat jemand mal kurz nen richtigen Lösungsweg, dann habe ich es glaube vollständig verstanden.
Problem hier ich habe keine unbekannte =0. Muss ich diese mit GAuß auflösen und wenn wie?
DAnke im Voraus
|
|
|
| |
|
Hi, cyp,
> Berechnen Sie das Skalarprodukt von [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vektor{1\\3\\2}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] = [mm]\vektor{4\\2\\2}[/mm] und geben
> Sie einen zu a und b orthogonalen Vektor an.
> wie ich ein Skalar berechne und was ein orthogonaler
> Vektor ist, wäre mir klar. Ich kann ihn anhand des
> Kreuzproduktes berechne aber ich habe auch die Möglichkeit
> beliebig viele zu berechnen wie oben also 2 Gleichung und 3
> unbekannte. Hat jemand mal kurz nen richtigen Lösungsweg,
> dann habe ich es glaube vollständig verstanden.
Die Aufgabe hat mit der vorherigen aber auch schon gar nichts zu tun!
Es handelt sich um eine reine Übungsaufgabe zum Berechnen
a) des Skalarprodukts [mm] \vec{a} \circ \vec{b}
[/mm]
und
b) des Vektorprodukts(=Kreuzprodukts) [mm] \vec{a} \times \vec{b}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
> Berechnen Sie das Skalarprodukt von [mm]\vec{a}[/mm] =
> [mm]\vektor{1\\3\\2}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] = [mm]\vektor{4\\2\\2}[/mm] und geben
> Sie einen zu a und b orthogonalen Vektor an.
> Hallo,
> wie ich ein Skalar berechne und was ein orthogonaler
> Vektor ist, wäre mir klar. Ich kann ihn anhand des
> Kreuzproduktes berechne aber ich habe auch die Möglichkeit
> beliebig viele zu berechnen wie oben also 2 Gleichung und 3
> unbekannte.
Richtig. Sei etwa [mm]\vec{n}= \vektor{x\\y\\z}[/mm] ein solcher zu [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] senkrecht stehender Vektor. Das heisst es muss gelten:
[mm]\vec{n}\cdot\vec{a} = 0 \text{ und } \vec{n}\cdot \vec{b}=0[/mm]
Dies sind, wie Du richtig gesehen hast, zwei Gleichungen mir drei Unbekannten. In Koordinaten ausformuliert sind dies die beiden Gleichungen
[mm]x+3y+2z=0 \text{ und } 4x+2y+2z=0[/mm]
Zunächst würde ich hier mal eine Variable, sagen wir [mm]z[/mm] durch Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung herauswerfen. Dies ergibt [mm]3x-y=0[/mm], das heisst [mm]y=3x[/mm]. Nun versuche ich auch noch [mm]z[/mm] durch die überzählige Variable [mm]x[/mm] auszudrücken, indem ich [mm]y[/mm] in der ersten Gleichung durch [mm]3x[/mm] ersetze. Ergibt: [mm]x+3\cdot 3x+2z=0[/mm], also [mm]z=-5x[/mm] die allgemeine Lösung der beiden linearen Gleichungen lautet somit:
[mm]\mathcal{L}=\{(x,3x,-5x)\mid x\in \IR\}[/mm]
Die gesuchten Vektoren sind also
[mm]\vec{n}=\vektor{x \\ 3x \\ -5x}, x\in \IR\backslash\{0\}[/mm]
Natürlich ist hier der Weg über die Berechnung des Vektorproduktes [mm]\vec{a}\times \vec{b}[/mm] eher einfacher. Zwar erhältst Du so zunächst nur einen einzigen zu [mm]\vec{a},\vec{b}[/mm] senkrechten Vektor, aber alle anderen erhältst Du aus diesem einen durch geeignete Multiplikation mit einem Skalar [mm]\neq 0[/mm].
>Hat jemand mal kurz nen richtigen Lösungsweg,
> dann habe ich es glaube vollständig verstanden.
>
> Problem hier ich habe keine unbekannte =0. Muss ich diese
> mit GAuß auflösen und wenn wie?
>
> DAnke im Voraus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:36 So 01.07.2007 | | Autor: | cyp |
Hallo somebody,
erstmal vielen lieben Dank für deine tolle Hilfe.
mfg
cyp
|
|
|
|
