2. Frage Ableitungen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:36 Do 02.12.2004 | | Autor: | Bina02 |
Hallo ihr Lieben! :)
Hier nun meine zweite Aufgabe zum Thema Ableitungen, bei der ich hoffe, dass ich dazu ein Urteil abgeben könnt. :)
Sie lautet wie folgt:
"Betrachten sie die Funktion F. x-> [mm] 1+\bruch{x}{1!}+\bruch{x^{2}}{2!}+...+ \bruch{x^{n}}{n!}
[/mm]
a) Bilden sie die ersten drei Ableitungsfunktionen
b) Stellen sie nun eine Vermutung auf für die n-te Ableitungsfunktion
Anleitung: Beachten sie bitte, dass nach Definition von "n-Fakultät" gilt:
n! = 1*2*3... n und 0! =1
zu a) f´(x) = 1+ 2x + n* [mm] x^{n-1}
[/mm]
f´´(x) = 2+ n* [mm] x^{n-1}
[/mm]
f´´´(x) = n+ n* [mm] x^{n-1}
[/mm]
Ist das so korrekt?
zu b) Ist dies nicht bereits die 3. Ableitungsfunktion?
Hoffe ihr könnt mir auch hier weiter helfen.
Tausend Dank an auch schon im voraus!
Lg Sabrina :)
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 00:07 Fr 03.12.2004 | | Autor: | cremchen |
Hallo Sabrina!
> "Betrachten sie die Funktion F. x->
> [mm]1+\bruch{x}{1!}+\bruch{x^{2}}{2!}+...+ \bruch{x^{n}}{n!}
[/mm]
>
>
> a) Bilden sie die ersten drei Ableitungsfunktionen
>
> b) Stellen sie nun eine Vermutung auf für die n-te
> Ableitungsfunktion
> Anleitung: Beachten sie bitte, dass nach Definition von
> "n-Fakultät" gilt:
> n! = 1*2*3... n und 0! =1
>
>
> zu a) f´(x) = 1+ 2x + n* [mm]x^{n-1}
[/mm]
> f´´(x) = 2+ n* [mm]x^{n-1}
[/mm]
> f´´´(x) = n+ n* [mm]x^{n-1}
[/mm]
>
> Ist das so korrekt?
Also ich blick da ehrlich gesagt nicht recht durch was du gemacht hast!
Ich rechne dir es einfach mal vor, dann kannst du ja sehen ob du das gleiche gemacht hast ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
[mm] f'(x)=1+2\bruch{x}{2!}+3\bruch{x^{2}}{3!}+...+n\bruch{x^{n-1}}{n!}
[/mm]
[mm] =1+\bruch{x}{1!}+\bruch{x^{2}}{2!}+...+\bruch{x^{n-1}}{(n-1)!}
[/mm]
[mm] f''(x)=1+2\bruch{x}{2!}+3\bruch{x^{2}}{3!}+...+n\bruch{x^{n-1}}{n!}
[/mm]
[mm] =1+\bruch{x}{1!}+\bruch{x^{2}}{2!}+...+\bruch{x^{n-1}}{(n-1)!}
[/mm]
[mm] f'''(x)=1+2\bruch{x}{2!}+3\bruch{x^{2}}{3!}+...+n\bruch{x^{n-1}}{n!}
[/mm]
[mm] =1+\bruch{x}{1!}+\bruch{x^{2}}{2!}+...+\bruch{x^{n-1}}{(n-1)!}
[/mm]
Deine ursprüngliche Funktion hatte (n+1)-Summanden!
Die erste Ableitung hat nur noch n-Summanden!
Die zweite Ableitung hat noch (n-1)-Summanden!
usw.
Damit kämen wir zu b)
Eine allgemeine Form für die k-te Ableitung wäre
[mm] f^{k}(x)=1+\bruch{x}{1!}+\bruch{x^{2}}{2!}+...+\bruch{x^{n-1}}{(n-1)!}
[/mm]
Wobei sie dabei (n+1-k)-Summanden hat!
Die n-te Ableitung sieht dann folgendermaßen aus:
[mm] f^{n}(x)=1
[/mm]
Denn: sie hat noch (n+1-n)=1-Summanden, und das muß die 1 sein!
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen!
Liebe Grüße
Ulrike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Sabrina,
die 1. Ableitung von Cremchen ist ok.
Aber dann hat sie leider vergessen, den Exponenten des letzten Summanden herabzusetzen.
[mm]f(x) = 1 + \bruch{x}{1!} + \bruch{x^{2}}{2!} + ... + \bruch{x^{n}}{n!} = \summe_{i=0}^{n}\bruch{x^i}{i!}[/mm]
[mm]f'(x) = 0 + \bruch{1}{1!} + 2*\bruch{x^{1}}{2!} + 3*\bruch{x^{2}}{3!} + ... + n*\bruch{x^{n-1}}{n!}[/mm]
[mm]f'(x) = 1 + \bruch{x}{1!} + \bruch{x^{2}}{2!} + ... + \bruch{x^{n-1}}{(n-1)!} = \summe_{i=0}^{n-1}\bruch{x^i}{i!}[/mm]
[mm]f''(x) = 1 + \bruch{x}{1!} + \bruch{x^{2}}{2!} + ... + \bruch{x^{n-2}}{(n-2)!} = \summe_{i=0}^{n-2}\bruch{x^i}{i!}[/mm]
[mm]f'''(x) = 1 + \bruch{x}{1!} + \bruch{x^{2}}{2!} + ... + \bruch{x^{n-3}}{(n-3)!} = \summe_{i=0}^{n-3}\bruch{x^i}{i!}[/mm]
...
[mm]f^{(k)}(x) = 1 + \bruch{x}{1!} + \bruch{x^{2}}{2!} + ... + \bruch{x^{n-k}}{(n-k)!} = \summe_{i=0}^{n-k}\bruch{x^i}{i!}[/mm]
Grüße Loddar
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