1/e als grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Di 20.11.2012 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | | zeige 1/e = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}((1-(1/n)^n) [/mm] |
Hallo liebe Gemeinde!
also
[mm] e=exp(1)=\limes_{n\rightarrow\infty}((1+(1/n)^n) [/mm]
konnte ich relativ einfach über die definition der ableitung herleiten...
exp(1)=exp(log'(1)) = [mm] exp(\limes_{n\rightarrow\infty}(log(1)+log(1/n))/(1/n)) [/mm] (differenzenquotient mit (1/n)-> infty statt n->0)
= [mm] exp(\limes_{n\rightarrow\infty}(log(1+(1/n)) [/mm] -log(1)))*n))
= [mm] exp(\limes_{n\rightarrow\infty}(log((1+(1/n))^n))
[/mm]
exp ist stetig, deswegen kann ich den limes rausziehen.. exp log heben sich auf das kann man dann leicht umformen zu [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}((1+(1/n)^n) [/mm]
aber mit 1/e versuch ichs schon ne stunde...
hat wer nen tipp??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Di 20.11.2012 | | Autor: | abakus |
> zeige 1/e = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}((1-(1/n)^n)[/mm]
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> Hallo liebe Gemeinde!
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> also
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> [mm]e=exp(1)=\limes_{n\rightarrow\infty}((1+(1/n)^n)[/mm]
Hallo,
Es gilt [mm]1-\frac1n[/mm] = [mm]\frac{n-1}{n}=(\frac{n}{n-1})^{-1} = (1+\frac{1}{n-1})^{-1}[/mm]
Wenn du das jetzt noch hoch n nimmst, erhältst du [mm] (1+\frac{1}{n-1})^{-1*n} =((1+\frac{1}{n-1})^{n})^{-1}[/mm] .
Erkennst du in der inneren Klammer (bei der Grenzwertbildung) das e?
Das wird dann noch hoch minus 1 genommen.
Gruß Abakus
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> konnte ich relativ einfach über die definition der
> ableitung herleiten...
>
> exp(1)=exp(log'(1)) =
> [mm]exp(\limes_{n\rightarrow\infty}(log(1)+log(1/n))/(1/n))[/mm]
> (differenzenquotient mit (1/n)-> infty statt n->0)
>
> = [mm]exp(\limes_{n\rightarrow\infty}(log(1+(1/n))[/mm]
> -log(1)))*n))
> = [mm]exp(\limes_{n\rightarrow\infty}(log((1+(1/n))^n))[/mm]
>
> exp ist stetig, deswegen kann ich den limes rausziehen..
> exp log heben sich auf das kann man dann leicht umformen zu
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}((1+(1/n)^n)[/mm]
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> aber mit 1/e versuch ichs schon ne stunde...
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> hat wer nen tipp??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:13 Di 20.11.2012 | | Autor: | elmanuel |
danke abakus!
stimmt hab ich anfangs übersehen
hab jetzt das gleiche raus
lim (1-1/n)^(n)
=lim ((n/n - 1/n )^(n)
=lim (([(n/(n-1)])^(-n)
=lim (([(1+ 1/(n-1)])^(-n)
wegen lim (n-1) = lim(n) [mm] (n->\infty)
[/mm]
=1/e
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Di 20.11.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> wegen lim (n-1) = lim(n) [mm](n->\infty)[/mm]
Die Begründung ist falsch!
Nach dieser Begründung müsste ja auch
[mm] $\left(1 + \bruch{2}{n}\right)^n [/mm] = [mm] \left(1 + \bruch{1}{\bruch{n}{2}}\right)^n$ [/mm] gegen e gehen, da [mm] $\lim_{n\to\infty} \bruch{n}{2} [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] n$ gilt.
Aber das tut es ja offensichtlich nicht....
Du kannst nur Ausdrücke der Form [mm] $\left(1 + \bruch{1}{x}\right)^x$ [/mm] auswerten, also forme es so um, dass im Exponenten eben auch die n-1 auftaucht!
MFG,
Gono.
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