1. Ableitung Sin / cos < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Di 29.03.2005 | | Autor: | Vannie |
Hallo,
ich habe ein Problem, weil ich irgendwie nicht weiterkomme.
Es sind die Funktionen gegeben
f(x) = sinx
und
g(x) = cosx
Ich soll jetzt die Stellen bestimmen, an denen die 1. Ableitung von f bzw. g den Wert 0; 1/2; -1/2; 1; -1 besitzt.
Ich weiß, dass f'(x) = cosx ist und g'(x) = -sinx
Über das Schaubild konnte ich die Stellen bestimmen bzw. ablesen, die den Wert 0, 1 und -1 haben:
Das waren bei mir folgende:
cosx=0:
x=0; x = [mm] \pi [/mm] ; x=2 [mm] \pi [/mm] ; x=3 [mm] \pi [/mm] und x=4 [mm] \pi
[/mm]
cosx=1:
x [mm] =1,5\* \pi [/mm] ; x [mm] =3,5\* \pi
[/mm]
cosx=-1:
x [mm] =0,5\* \pi [/mm] ; x [mm] =2,5\* \pi
[/mm]
Bei 1/2 und -1/2 weiß ich das aber nicht, weil ich es ja nicht ablesen kann...
Ich würde jetzt irgendwie vermuten (nur durch reines Raten oder folgern), dass die werte von 1/2 und -1/2 wie folgt aussehen:
cosx=1/2:
x [mm] =0,75\* \pi [/mm] ; x [mm] =1,75\* \pi
[/mm]
cosx=-1/2:
x [mm] =0,25\* \pi [/mm] ; x [mm] =1,25\* \pi
[/mm]
Ich kann das aber weder rechnerisch noch zeichnerisch irgendwie begründen :-/. Und schätze auch, dass das falsch ist. Aber ich habe wirklich keinen Plan und komm auch nach langem rumknobeln nicht drauf...Vielleicht kann mir ja jemand helfen. Das mit g(x) bekomme ich dann sicher selber raus, wenn ich das mit f(x) erstmal geschafft habe. Oder gibt es vielleicht einen ganz einfachen Weg, ohne abzulesen mit umformen?
Vielen Dank schonmal im Vorraus.
PS: Kann mir vielleicht noch jemand sagen, ob man das auch mit dem Taschenrechner rausbekommen kann bzw. mit welchem Modus ich das rechnen müsste? Nicht mit dem Gradmaß, oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Di 29.03.2005 | | Autor: | Max |
> Hallo,
N'abend
> Es sind die Funktionen gegeben
> f(x) = sinx
> und
> g(x) = cosx
>
>
> Ich soll jetzt die Stellen bestimmen, an denen die 1.
> Ableitung von f bzw. g den Wert 0; 1/2; -1/2; 1; -1
> besitzt.
>
> Ich weiß, dass f'(x) = cosx ist und g'(x) = -sinx
>
> Über das Schaubild konnte ich die Stellen bestimmen bzw.
> ablesen, die den Wert 0, 1 und -1 haben:
Ich gehe mal davon aus, dass du gerade zu [mm] $g(x)=\cos(x)$ [/mm] mit [mm] $g'(x)=-\sin(x)$ [/mm] die entsprechenden Überlegungen anstellst.
> Das waren bei mir folgende:
>
> cosx=0:
Du meisnt jetzt genauer die Stellen $x$ an denen die Funktion [mm] $\cos(x)$ [/mm] die Ableitung $0$ hat? Also die Stellen, an denen [mm] $-\sin(x)=0$ [/mm] gilt:
> x=0; x = [mm]\pi[/mm] ; x=2 [mm]\pi[/mm] ; x=3 [mm]\pi[/mm] und x=4 [mm]\pi[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") $x=0 + [mm] 2\pi [/mm] k, [mm] \qquad [/mm] k [mm] \in \mathbb{Z}$
[/mm]
> cosx=1:
[mm] $\cos'(x)=-\sin(x)=1$:
[/mm]
> x [mm]=1,5\* \pi[/mm] ; x [mm]=3,5\* \pi[/mm]
$x = [mm] -\frac{1}{2}\pi [/mm] + 2 [mm] \pi [/mm] k, [mm] \qquad [/mm] k [mm] \in \mathbb{Z}$
[/mm]
> cosx=-1:
[mm] $\cos'(x)=-\sin(x)=-1$:
[/mm]
>
> x [mm]=0,5\* \pi[/mm] ; x [mm]=2,5\* \pi[/mm]
$x = [mm] \frac{1}{2}\pi [/mm] + [mm] 2\pi [/mm] k, [mm] \qquad k\in \mathbb{Z}$
[/mm]
> Bei 1/2 und -1/2 weiß ich das aber nicht, weil ich es ja
> nicht ablesen kann...
> Ich würde jetzt irgendwie vermuten (nur durch reines Raten
> oder folgern), dass die werte von 1/2 und -1/2 wie folgt
> aussehen:
>
> cosx=1/2:
>
> x [mm]=0,75\* \pi[/mm] ; x [mm]=1,75\* \pi[/mm]
>
> cosx=-1/2:
>
> x [mm]=0,25\* \pi[/mm] ; x [mm]=1,25\* \pi[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Tatsächlich gilt:
[mm] $\cos'(x)=-\sin(x)=\frac{1}{2}$:
[/mm]
$x = [mm] -\frac{5}{6}\pi [/mm] + [mm] 2\pi [/mm] k, [mm] \qquad k\in \mathbb{Z}$ [/mm] und $x= [mm] -\frac{1}{6}\pi [/mm] + [mm] 2\pi [/mm] k, [mm] \qquad k\in \mathbb{Z}$
[/mm]
[mm] $\cos'(x)=-\sin(x)=-\frac{1}{2}$:
[/mm]
[mm] $x=\frac{1}{6}\pi [/mm] + [mm] 2\pi [/mm] k, [mm] \qquad [/mm] k [mm] \in \IZ$ [/mm] und [mm] $x=\frac{5}{6}\pi [/mm] + [mm] 2\pi [/mm] k, [mm] \qquad [/mm] k [mm] \in \IZ$
[/mm]
Immer daran denken, dass die Sinusfunktion (und damit natürlich auch [mm] $-\sin(x)$) [/mm] punktsymmetrisch zu jeder Nullstelle ist und achsensymmetrisch zu jedem Hoch- bzw. Tiefpunkt ist. Da die Kosinusfunktion ja nur um [mm] $\frac{1}{2}\pi$ [/mm] verschoben ist, hat diese die gleichen Eigenschaften.
> Ich kann das aber weder rechnerisch noch zeichnerisch
> irgendwie begründen :-/
Ist auch schwer, ich kenne auch keine einfache Möglichkeit eine Gleichung der Form [mm] $\sin(x)=a,\qquad a\in [/mm] [-1;1]$ zu lösen. Eiegntlich kann man nur mit irgendwelchen nummerischen Verfahren zur Nullstellenbestimmung arbeiten. Oder ihr sollt halt doch genau zeichnen und die entsprechenden Werte am Graph ablesen.
Gruß Brackhaus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Mo 04.04.2005 | | Autor: | Vannie |
Hallo ihr zwei,
erstmal danke für eure mühen und antworten. ich hab da anfangs leider was durcheinander gebracht, aber jetzt ist es schon klarer.
eine frage habe ich nur:
>[mm]x=0 + 2\pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}[/mm]
Wir haben aber folgendes aufgeschrieben:
x = 0 + k * [mm] \pi
[/mm]
Wenn ich werte einsetze, stimmt auch die formel, die wir aufgeschrieben haben.
Oder habe ich vielleicht aus versehen doch falsch abgeschrieben oder bring grad wieder irgendetwas durcheinander? Und gibt es einen trick, wie man die allgemein formel rausbekommt? ich muss da erst ziemlich lange nachdenken, um die allgemeine formel irgendwie nachvollziehen zu können.
Auf jedenfall schonmal danke ;).
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> Hallo ihr zwei,
Hallo ihr drei! 
> erstmal danke für eure mühen und antworten. ich hab da
> anfangs leider was durcheinander gebracht, aber jetzt ist
> es schon klarer.
>
> eine frage habe ich nur:
>
>
> >[mm]x=0 + 2\pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}[/mm]
>
>
>
> Wir haben aber folgendes aufgeschrieben:
>
> x = 0 + k * [mm]\pi[/mm]
>
> Wenn ich werte einsetze, stimmt auch die formel, die wir
> aufgeschrieben haben.
> Oder habe ich vielleicht aus versehen doch falsch
> abgeschrieben oder bring grad wieder irgendetwas
> durcheinander? Und gibt es einen trick, wie man die
> allgemein formel rausbekommt? ich muss da erst ziemlich
> lange nachdenken, um die allgemeine formel irgendwie
> nachvollziehen zu können.
Du meintest die Nullstellen vom Sinus, oder? Also wenn ich mich jetzt nicht irre, ist sin(x) eine [mm] 2\pi-periodische [/mm] Funktion, d.h. aber, dass einmal der Teil oberhalb der x-Achse und einmal der Teil unterhalb der x-Achse vorkommt, also muss dazwischen eine Nullstelle liegen, und die liegt genau bei [mm] x=\pi. [/mm] Also auch bei [mm] x=2\pi, x=3\pi [/mm] usw. - also müsste deine Formel eigentlich richtig sein.
Hier nochmal der Graph der Sinusfunktion:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Striche auf der x-Achse sind übrigens Vielfache von [mm] \pi.
[/mm]
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Di 29.03.2005 | | Autor: | mat84 |
Also du hast ja quasi so Gleichungen wie
[mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
cosx = \bruch{1}{2} [/mm}
die würde ich mit der entsprechenden Umkehrfunktion lösen, also
[mm]x = arccos \bruch{1}{2} bzw. aufm taschenrechner ist das cos^{-1} [/mm]
analog für den Sinus
Allerdings gibt der taschenrechner einem nur eine lösung an, dann muss man über die Symmetrieeigenschaften des Graphen noch die anderen rauskriegen
Ich habs übrigens im DEG-Modus gemacht, dann kriegst du halt die Gradzahl raus, aber die lässt sich ja problemlos in rad umwandeln.
Gruß
mat84
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