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| Aufgabe | Allgmeine Lösung dieser Form:
$y' = f ( [mm] \bruch{y}{x} [/mm] )$
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So meine Idee nachdem ich bisschen im Skript geschaut hab:
Erst mal das Skript:
Substitution: $u = [mm] \bruch{y}{x} [/mm] $
Rückführung:
$y = u * x$
$y' = u' * x + u $
$u' = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] [f(u) - u] $
und dann steht da nur noch Trennung der Variablen und einsetzen in die Lösungsformel.
Das gefällt mir so ned 
Hab es bei der Substitution mit der Form $y' = f(ax + by + c) $ hinbekommen das dann nachher ne allgmeine Form dasteht.
Jetzt mein Ansatz:
[mm] $\bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] [f(u) - u] $
umgestellt
[mm] $\bruch{du}{[f(u) - u]} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] dx $
Integral auf beiden Seiten:
$ [mm] \integral{\bruch{du}{[f(u) - u]}} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{1}{x} dx} [/mm] $
$ ln |f(u) - u | = ln |x| + ln (C) $
Auf beiden Seiten mit "e" erweitern
$ f(u) - u = C * x $
so und jetzt fehlt mir die Idee zum richtigen Einsetzen:
$ y' = Cx + u = u' x + u [mm] \gdwCx [/mm] = u' x [mm] \gdwC [/mm] = u' [mm] \gdwu [/mm] = [mm] C_1 [/mm] x + [mm] C_2 [/mm] $
$ y = u * x = [mm] C_1 x^2 [/mm] + [mm] C_2 [/mm] x $
und das passt jetzt nicht hin, irgendwie??
Kann da jemand nen Fehler entdecken ??
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:08 Fr 07.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo muesli
> Allgmeine Lösung dieser Form:
> [mm]y' = f ( \bruch{y}{x} )[/mm]
>
> So meine Idee nachdem ich bisschen im Skript geschaut hab:
>
> Erst mal das Skript:
> Substitution: [mm]u = \bruch{y}{x}[/mm]
> Rückführung:
> [mm]y = u * x[/mm]
> [mm]y' = u' * x + u[/mm]
> [mm]u' = \bruch{1}{x} [f(u) - u][/mm]
>
> und dann steht da nur noch Trennung der Variablen und
> einsetzen in die Lösungsformel.
>
> Das gefällt mir so ned
>
> Hab es bei der Substitution mit der Form [mm]y' = f(ax + by + c)[/mm]
> hinbekommen das dann nachher ne allgmeine Form dasteht.
versteh ich net! Welche alg. Formel
> Jetzt mein Ansatz:
> [mm]\bruch{du}{dx} = \bruch{1}{x} [f(u) - u][/mm]
Das ist doch der aus dem Buch?
> [mm]\bruch{du}{[f(u) - u]} = \bruch{1}{x} dx [/mm]
> Integral auf
> beiden Seiten:
> [mm]\integral{\bruch{du}{[f(u) - u]}} = \integral{\bruch{1}{x} dx}[/mm]
>
> [mm]ln |f(u) - u | = ln |x| + ln (C)[/mm]
FALSCH, denn [mm](ln |f(u) - u |)'= \bruch{f'(u)-1}{[f(u) - u]}}[/mm]
> Auf beiden Seiten mit "e"
> erweitern
> [mm]f(u) - u = C * x[/mm]
Wenn das richtig wäre, musst du nur u=y/x einsetzen.
aber, da das Integral sehr von f(u) abhängt gibt es sicher keine allgemeine Lösung! versuchs mal mit ein paar speziellen f
> so und jetzt fehlt mir die Idee zum richtigen Einsetzen:
> [mm]y' = Cx + u = u' x + u \gdwCx = u' x \gdwC = u' \gdwu = C_1 x + C_2[/mm]
Wie du dahin kommst, selbst mit deinem Fehler ist mir völlig schleierhaft
u'x+u=u'x heisst doch z.bsp u=0 daraus u'=0 und u'x=u' heisst doch auch u'=0!
> [mm]y = u * x = C_1 x^2 + C_2 x[/mm]
>
> und das passt jetzt nicht hin, irgendwie??
> Kann da jemand nen Fehler entdecken ??
Ganz viele!
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:04 Sa 08.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo muesli
Ohne f(u) kannst du nix machen!
nur für einfache f gibts dann Lösungen!
Gruss leduart
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