1.Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Fr 10.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die erste Ableitung der folgenden Funktion:
[mm] f(x)=x^{sin(x)} [/mm] |
Hallo zusammen,
[mm] f(x)=x^{sin(x)}
[/mm]
Mir wurde eben schon gezeigt, dass [mm] f(x)=x^{sin(x)} [/mm] auch als [mm] f(x)=e^{sin(x)*ln(x)} [/mm] darstellbar ist. Allerdings verstehe ich nicht, wie man darauf kommt. Welche allgemeine Regel greift hier?
Des weiteren habe ich mich mit diesem Wissen an die Aufgabe gemacht.
Zu benutzen sind hier die Ketten und Produktregel.
[mm] f'(x)=e^{sin(x)*ln(x)}*cos(x)*ln(x)+sin(x)*\bruch{1}{x}
[/mm]
Was sagt Ihr dazu? Ist es richtig?
Vielen Dank
Gruß
mbau16
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Fr 10.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst die Definition von ln(a) kennen, es ist die Umkehrfkt von [mm] e^a
[/mm]
deshalb gilt [mm] e^{ln(a)}=a [/mm] und [mm] ln(e^a)=a
[/mm]
Bei deiner Ableitung fehlt nur ne Klammer:
$ [mm] f'(x)=e^{sin(x)\cdot{}ln(x)}(\cdot{}cos(x)\cdot{}ln(x)+sin(x)\cdot{}\bruch{1}{x}) [/mm] $
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Fr 10.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
> Hallo
> du musst die Definition von ln(a) kennen, es ist die
> Umkehrfkt von [mm]e^a[/mm]
> deshalb gilt [mm]e^{ln(a)}=a[/mm] und [mm]ln(e^a)=a[/mm]
> Bei deiner Ableitung fehlt nur ne Klammer:
>
> [mm]f'(x)=e^{sin(x)\cdot{}ln(x)}(\cdot{}cos(x)\cdot{}ln(x)+sin(x)\cdot{}\bruch{1}{x})[/mm]
> Gruss leduart
Danke für Deine Antwort!
Verstehe nur nicht wieso man [mm]e^{ln(a)}=a[/mm] für [mm] x^{sin(x)} [/mm] braucht?? Kannst Du mir dazu etwas sagen?
Vielen Dank
Gruß
mbau16
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Hallo mbau16,
> > Hallo
> > du musst die Definition von ln(a) kennen, es ist die
> > Umkehrfkt von [mm]e^a[/mm]
> > deshalb gilt [mm]e^{ln(a)}=a[/mm] und [mm]ln(e^a)=a[/mm]
> > Bei deiner Ableitung fehlt nur ne Klammer:
> >
> >
> [mm]f'(x)=e^{sin(x)\cdot{}ln(x)}(\cdot{}cos(x)\cdot{}ln(x)+sin(x)\cdot{}\bruch{1}{x})[/mm]
> > Gruss leduart
>
> Danke für Deine Antwort!
>
> Verstehe nur nicht wieso man [mm]e^{ln(a)}=a[/mm] für [mm]x^{sin(x)}[/mm]
> braucht?? Kannst Du mir dazu etwas sagen?
Na, du hast ja die Funktionsvariable x in der Basis und im Exponenten
Da kannst du Potenzregel usw. vergessen.
Du musst diese Umschreibung mit der e-Funktion machen und dann mit Produkt- und Kettenregel ableiten.
Das [mm]e^{\ln(a)}=a[/mm] für [mm]a>0[/mm] brauchst du hier für die Umschreibung:
Für [mm]x>0[/mm] ist [mm]x^{\sin(x)}=e^{\ln\left(x^{\sin(x)}\right)}=e^{\sin(x)\cdot{}\ln(x)}[/mm] (Log.gesetz: [mm]\log_b\left(a^m\right)=m\cdot{}\log_b(a)[/mm])
Dann kannst du erst (sinnvoll) ableiten ...
>
> Vielen Dank
>
> Gruß
>
> mbau16
>
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:45 Sa 11.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ermitteln Sie die erste Ableitung der folgenden Funktion:
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> [mm]f(x)=x^{sin(x)}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> [mm]f(x)=x^{sin(x)}[/mm]
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> Mir wurde eben schon gezeigt, dass [mm]f(x)=x^{sin(x)}[/mm] auch als
> [mm]f(x)=e^{sin(x)*ln(x)}[/mm] darstellbar ist. Allerdings verstehe
> ich nicht, wie man darauf kommt. Welche allgemeine Regel
> greift hier?
Keine, sondern die Definition der allgemeinen Potenz: für a>0 und b [mm] \in \IR [/mm] ist
[mm] a^b:=e^{b*ln(a)}
[/mm]
FRED
>
> Des weiteren habe ich mich mit diesem Wissen an die Aufgabe
> gemacht.
>
> Zu benutzen sind hier die Ketten und Produktregel.
>
> [mm]f'(x)=e^{sin(x)*ln(x)}*cos(x)*ln(x)+sin(x)*\bruch{1}{x}[/mm]
>
> Was sagt Ihr dazu? Ist es richtig?
>
> Vielen Dank
>
> Gruß
>
> mbau16
>
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