1.Abl. von sqrt(x) mit h-Metho < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
kann mir jemand zeigen, wie ich mit der h-Methode (lim h->0 [f(x0+h)-f(x0)]/h die Funktion f(x) = sqrt (x) ableiten kann.
Ich habe schon alles probiert, aber ich komme einfach nicht weiter und weiß nicht wie ich das h aus dem Nenner wegkürzen kann.
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand noch heute den WEg aufschreiben kann!
Gruß Patrick
|
|
| |
|
Hallo Patrik,
Ich persönlich fände in diesem Fall die Methode mit dem Differenzenquotient einfacher..
Natürlich geht es auch mit der h Methode.
[mm] $f'(x_0)= \limes_{h\rightarrow 0} \frac {f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
[/mm]
Ziel ist es ja das h aus dem Nenner wegzubekommen, dies ist aber nur möglich, wenn man es irgendwie mit dem aus dem Zähler kürzen kann. Hierfür wendet man die 3. Binomische Formel an um die Wurzel wegzubekommen:
[mm]\frac {f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac {\wurzel{x_0+h}-\wurzel{x_0}}{h}=\frac {x_0+h-x_0}{h(\wurzel{x_0+h}+\wurzel{x_0})}[/mm]
Jetzt kann man wunderschön das h rauskürzen und erhällt für die Ableitung:
[mm] $f'(x_0)= \limes_{h\rightarrow 0} \frac {1}{\wurzel{x_0+h}+\wurzel{x_0}}=\frac{1}{2\wurzel{x_0}}=\frac{1}{2}x_0^{-\frac{1}{2}}$
[/mm]
Welche Schreibweise man nun am Ende lieber mag ist reine Geschmacksfrage.
Gruß Samuel
[edit] ursprünglich hatte ich den Faktor 1/2 vor dem Endergebnis vergessen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Do 14.04.2005 | | Autor: | mathrix |
Hi Samuel,
ich glaube, dass du im letzten Schritt einen Fehler gemacht hast, denn
[mm]\limes_{\red{h}\rightarrow0}\bruch{1}{2\wurzel{x_0}}\not=x_0^{-\bruch{1}{2}}[/mm], sondern
[mm]\limes_{\red{h}\rightarrow0}\bruch{1}{2\wurzel{x_0}}=\bruch{1}{2}x_0^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
Das Formelsystem ist ja auch ziemlich wirr  ,
Gruß,
mathrix
|
|
|
| |
|
Die Antwort ist ja als fehlerhaft gekennzeichnet, dennoch sieht das alles sehr gut aus, ich verstehe nur nicht wie du von dem zweiten zum dritten Schritt einfach den "Wuzelausdruck" unter den Bruchstrich schreiben kannst und oben die ganze Zeile ohne Wurzeln stehen bleibt.
P.S.: Ich weiß dass es mit dem Differenzenquotient einfach(er) ist, ich benötige jedoch den Beweis mit der h-Methode...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Do 14.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Patrick!
> Die Antwort ist ja als fehlerhaft gekennzeichnet, dennoch
> sieht das alles sehr gut aus,
Ganz am Ende wurde der Faktor [mm] "$\bruch{1}{2}$" [/mm] unterschlagen / vergessen ...
> ich verstehe nur nicht wie du von dem zweiten zum dritten
> Schritt einfach den "Wurzelausdruck" unter den Bruchstrich
> schreiben kannst und oben die ganze Zeile ohne Wurzeln stehen bleibt.
Wir waren doch bei: [mm] $\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{x_0 + h} - \wurzel{x_0}}{h}$
[/mm]
Wir erweitern nun einfach mit [mm] $\wurzel{x_0 + h} \red{+} \wurzel{x_0}$, [/mm] um dann im Zähler die 3. binomische Formel anwenden zu können:
$(a-b)*(a-b) \ = \ [mm] a^2 [/mm] - [mm] b^2$
[/mm]
[mm] $\bruch{\wurzel{x_0 + h} - \wurzel{x_0}}{h} [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{x_0 + h} + \wurzel{x_0}}{\wurzel{x_0 + h} + \wurzel{x_0}}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{\left(\wurzel{x_0 + h}\right)^2 - \left(\wurzel{x_0}\right)^2}{h * \left(\wurzel{x_0 + h} + \wurzel{x_0}\right)}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{x_0 + h - x_0}{h * \left(\wurzel{x_0 + h} + \wurzel{x_0}\right)}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{h}{h * \left(\wurzel{x_0 + h} + \wurzel{x_0}\right)}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{x_0 + h} + \wurzel{x_0}}$
[/mm]
Nun klar(er)??
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:12 Do 14.04.2005 | | Autor: | XPatrickX |
Danke jetzt ist alles klar!
Also nochmals danke für eure schnelle Hilfe!!!
|
|
|
|
