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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 Sa 16.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Hier noch eine schöne Klausuraufgabe:
Es sei [mm] G:=\IR^2\backslash\{x\le 0, y=0\}. [/mm] Betrachten Sie die 1-Form
[mm] \omega:= \bruch{-ydx+xdy}{x^2+y^2} [/mm] für [mm] (x,y)\in [/mm] G.
a) Zeigen Sie: [mm] \omega [/mm] ist geschlossen.
b) Folgern Sie aus a): [mm] \omega [/mm] ist exakt.
c) Geben Sie eine Stammform zu [mm] \omega [/mm] an.
Also, bei a wusste ich leider nicht mehr so wirklich, wie man das macht. Irgendwas war da doch, dass das Integral bei geschlossenen 1-Formen über geschlossene Kurven =0 ist oder so? Aber würde es dann reichen, über eine geschlossene Kurve zu integrieren oder muss das für alle gelten?
b) habe ich glaube ich nicht aus a) gefolgert, sondern so begründet: [mm] \omega [/mm] ist exakt, wenn [mm] \omega [/mm] eine Stammfunktion besitzt, und es existiert eine Stammfunktion, wenn (ich wusste nicht mehr so ganz, wie man das schreibt...): [mm] \bruch{\partial{\bruch{-y}{x^2+y^2}}}{\partial{y}} [/mm] = [mm] \bruch{\partial{\bruch{x}{x^2+y^2}}}{\partial{x}}
[/mm]
Das habe ich dann berechnet und es kam hin!
Aber bei c habe ich leider keine Stammfunktion gefunden. Ich habe so angefangen:
[mm] \integral{\bruch{x}{x^2+y^2}dy} [/mm] oder muss es [mm] \integral{\bruch{x}{x^2+y^2}dx} [/mm] sein? Dann wäre es einfach...
Kann mir jemand sagen, was die Stammfunktion hierzu ist?
Und was ist dann die Stammfunktion für [mm] \omega?
[/mm]
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Sa 16.07.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo Bastiane!
Für geschlossenheit musst du zeigen, dass die Cartansche Ableitung 0 ist... 
Die Exaktheit kannst du mit der Existenz einer Stammfunktion zeigen.
Gruß Micha
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