1+√-3 irreduzibel, nicht prim < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Do 14.03.2024 | | Autor: | Euler123 |
| Aufgabe | | Sei [mm] R=\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]. [/mm] Zeige, dass [mm] 1+\sqrt{-3} [/mm] irreduzibel, aber nicht prim ist. |
Meine Idee war die folgende:
Angenommen, [mm] 1+\sqrt{-3} [/mm] ist reduzibel. Dann existieren a, b [mm] \in [/mm] R mit [mm] 1+\sqrt{-3}=a [/mm] b, wobei weder a noch b Einheiten sind. Da die Einheiten in R genau 1 und -1 sind, müssen a und b in der Form a=m+n [mm] \sqrt{-3} [/mm] und b=p+q [mm] \sqrt{-3} [/mm] mit m, n, p, q [mm] \in \mathbb{Z} [/mm] und n, q [mm] \neq [/mm] 0 sein. Aber dann ist:
[mm] (1+\sqrt{-3})=(m+n \sqrt{-3})(p+q \sqrt{-3})=(m [/mm] p-3 n q)+(m q+n p) [mm] \sqrt{-3}
[/mm]
Somit habe ich einen Wiederspruch und [mm] 1+\sqrt{-3} [/mm] ist irreduzible
Um zu zeigen, dass [mm] 1+\sqrt{-3} [/mm] nicht prim ist bin ich so vorgegangen:
[mm] (1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3})=1-(-3)=4
[/mm]
[mm] 1+\sqrt{-3} [/mm] teilt aber weder [mm] \sqrt{-3} [/mm] noch [mm] -\sqrt{-3}, [/mm] da sonst ein a [mm] \in [/mm] R existieren müsste mit [mm] \sqrt{-3}=a(1+\sqrt{-3})=a+a \sqrt{-3}.
[/mm]
Ich bin mir diesbezüglich (besonders im zweiten Teil) nicht sicher, ob das so stimmt bzw. formal wirklich korrekt ist - über kurze Rückmeldung würde ich mich also sehr freuen :)
LG Euler
PS: "Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt"
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Do 14.03.2024 | | Autor: | statler |
Guten Abend!
> Sei [mm]R=\mathbb{Z}[\sqrt{-3}].[/mm] Zeige, dass [mm]1+\sqrt{-3}[/mm]
> irreduzibel, aber nicht prim ist.
> Meine Idee war die folgende:
>
> Angenommen, [mm]1+\sqrt{-3}[/mm] ist reduzibel. Dann existieren a, b
> [mm]\in[/mm] R mit [mm]1+\sqrt{-3}=a[/mm] b, wobei weder a noch b Einheiten
> sind. Da die Einheiten in R genau 1 und -1 sind,
Woher wissen wir das?
> müssen a
> und b in der Form a=m+n [mm]\sqrt{-3}[/mm] und b=p+q [mm]\sqrt{-3}[/mm] mit
> m, n, p, q [mm]\in \mathbb{Z}[/mm] und n, q [mm]\neq[/mm] 0 sein. Aber dann
> ist:
>
> [mm](1+\sqrt{-3})=(m+n \sqrt{-3})(p+q \sqrt{-3})=(m[/mm] p-3 n q)+(m
> q+n p) [mm]\sqrt{-3}[/mm]
>
> Somit habe ich einen Widerspruch und [mm]1+\sqrt{-3}[/mm] ist
> irreduzibel
Und wieso ist das ein Widerspruch?
>
>
> Um zu zeigen, dass [mm]1+\sqrt{-3}[/mm] nicht prim ist bin ich so
> vorgegangen:
> [mm](1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3})=1-(-3)=4[/mm]
Also ist [mm] $1+\sqrt{-3}$ [/mm] Teiler von 4 = 2*2. Wenn es prim wäre, müßte es auch 2 teilen, tut es das?
> [mm]1+\sqrt{-3}[/mm] teilt aber weder [mm]\sqrt{-3}[/mm] noch [mm]-\sqrt{-3},[/mm] da
> sonst ein a [mm]\in[/mm] R existieren müsste mit
> [mm]\sqrt{-3}=a(1+\sqrt{-3})=a+a \sqrt{-3}.[/mm]
Das verstehe ich leider nicht.
Gruß Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Fr 15.03.2024 | | Autor: | Euler123 |
Hallo Dieter,
Zwecks dem Widerspruch hätte ich mir das so gedacht:
[mm] 1+\sqrt{-3}=a [/mm] b=a b a b --> impliziert, dass [mm] 1+\sqrt{-3} [/mm] eine Einheit ist oder ein Produkt von Einheiten, was im Widerspruch zur Annahme, dass weder a noch b Einheiten sind, steht.
Kann ich das nicht so machen??
Zum zweiten Teil:
$ [mm] 1+\sqrt{-3} [/mm] $ teilt 4 aber nicht 2 (es gibt ja kein a, sodass [mm] 2=a(1+\sqrt{-3})=a+a \sqrt{-3}) [/mm] - das war in meiner Frage falsch.
Was genau meinst du mit "Woher wissen wir das" ganz am Anfang - wenn ich mich nicht vertue, habe ich da ja nur die Definitionen verwendet.
Danke dir schon mal für die Hilfe :)
LG Euler
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Fr 15.03.2024 | | Autor: | statler |
Hi!
> Zwecks dem Widerspruch hätte ich mir das so gedacht:
> [mm]1+\sqrt{-3}=a[/mm] b=a b a b --> impliziert, dass [mm]1+\sqrt{-3}[/mm]
> eine Einheit ist oder ein Produkt von Einheiten, was im
> Widerspruch zur Annahme, dass weder a noch b Einheiten
> sind, steht.
>
> Kann ich das nicht so machen??
Da das typographisch vermurkst ist, verstehe ich das nicht wirklich. Du nimmst an, daß [mm] $1+\sqrt{-3}$ [/mm] reduzibel ist, daß es also in [mm] $\IZ[\sqrt{-3}]$ [/mm] eine Gleichung
[mm] $1+\sqrt{-3} [/mm] = [mm] (m+n\sqrt{-3})(p+q\sqrt{-3})$ [/mm] gibt.
Aber dann gilt auch die Gleichung
[mm] $1-\sqrt{-3} [/mm] = [mm] (m-n\sqrt{-3})(p-q\sqrt{-3})$
[/mm]
und wenn ich die linken und die rechten Seiten miteinander multipliziere, erhalte ich (jetzt in [mm] $\IZ$)
[/mm]
$4 = [mm] (m^{2}+3n^{2})(p^{2}+3q^{2})$
[/mm]
Jetzt hat 4 nur die Zerlegungen 1*4 und 2*2. 2*2 geht gar nicht, und bei 1*4 erhalte ich m = [mm] $\pm1, [/mm] n= 0, p = [mm] \pm1, [/mm] q = [mm] \pm1 [/mm] (oder andersrum). Also kriege ich das nur mit Einheiten hin.
>
> Zum zweiten Teil:
> [mm]1+\sqrt{-3}[/mm] teilt 4 aber nicht 2 (es gibt ja kein a,
> sodass [mm]2=a(1+\sqrt{-3})=a+a \sqrt{-3})[/mm] - das war in meiner
> Frage falsch.
So ist es womöglich falsch, woher kommt a? Doch aus [mm] $\IZ[\sqrt{-3}]$, [/mm] also solltest du das anders hinschreiben. Aber du kannst auch einfach teilen:
[mm] $\frac{2}{1+\sqrt{-3}} [/mm] = [mm] \frac{2(1-\sqrt{-3})}{4} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(1-\sqrt{-3})$, [/mm] und der Quotient ist nicht in [mm] $\IZ[\sqrt{-3}]$.
[/mm]
> Was genau meinst du mit "Woher wissen wir das" ganz am
> Anfang - wenn ich mich nicht vertue, habe ich da ja nur die
> Definitionen verwendet.
Naja, es gibt Ringe, z. B. [mm] $\IZ[\sqrt{3}]$, [/mm] die auch noch andere Einheiten wie z. B. $2 + [mm] \sqrt{3}$ [/mm] haben.
Ich hoffe, daß es jetzt klarer ist.
Gruß Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:56 Mi 20.03.2024 | | Autor: | Euler123 |
Hallo Dieter,
Danke dir nochmals für deine Hilfe und Geduld - habe es nun schlussendlich richtig hinbekommen :)
Alles Gute,
LG Euler
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