1+1=2, natürliche Zahlen, < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Fr 24.10.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Beweisen Sie die Gültigkeit der Gleichung 1+1=2. |
Hallo zusammen,
zu meinen Vorwissen:
-)Wir haben die ZFC-Axiome eingeführt
-)Daraus haben wir dann mit Hilfe der Nachfolgerfunktion S(A):= A [mm] \cup \{A\} [/mm] definiert:
0:= [mm] \emptyset
[/mm]
1:= S(0)=0 [mm] \cup \{0\}=\{\emptyset\}
[/mm]
2:= S(1)=1 [mm] \cup \{1\}=\{\emptyset,\{\emptyset\}\},
[/mm]
3:= S(2)=2 [mm] \cup \{2\}=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\},
[/mm]
..
[mm] n:=\begin{cases} \emptyset, & \mbox{für }n=0 \\ S(n-1)=(n-1)\cup \{(n-1)\}, & \mbox{für }n\not=0 \end{cases}
[/mm]
-) Existenz und eindeutigkeit von [mm] \IN
[/mm]
-) Induktionsprinzip
-) Güligkeit der Peano Axiome
-) Ordnungsrelation (Ordnungsinduktion, Wohlordnung von [mm] \IN)
[/mm]
-) Addition, Multiplikation auf [mm] \IN
[/mm]
-) [mm] \IN [/mm] ist ein kommutativer Halbring mit 0 und Eins-element
Ich verwende die Definition der Addition sowie die Kommutativität von [mm] \IN.
[/mm]
+: [mm] \IN \times \IN [/mm] -> [mm] \IN
[/mm]
n+0 =n
n+S(m)=S(n+m)
1+1=S(0)+S(0)=S(S(0)+0)=S(0+S(0))=S(S(0+0))=S(S(0))=S(1)=2
Stimmt das? Kommt mir viel zu einfach vor!?
LG,
sissi
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> Beweisen Sie die Gültigkeit der Gleichung 1+1=2.
> Hallo zusammen,
> zu meinen Vorwissen:
> -)Wir haben die ZFC-Axiome eingeführt
>  Daraus haben wir dann mit Hilfe der Nachfolgerfunktion
> S(A):= A [mm]\cup \{A\}[/mm] definiert:
> 0:= [mm]\emptyset[/mm]
> 1:= S(0)=0 [mm]\cup \{0\}=\{\emptyset\}[/mm]
> 2:= S(1)=1 [mm]\cup \{1\}=\{\emptyset,\{\emptyset\}\},[/mm]
>
> 3:= S(2)=2 [mm]\cup \{2\}=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\},[/mm]
>
> ..
> [mm]n:=\begin{cases} \emptyset, & \mbox{für }n=0 \\ S(n-1)=(n-1)\cup \{(n-1)\}, & \mbox{für }n\not=0 \end{cases}[/mm]
>
> -) Existenz und eindeutigkeit von [mm]\IN[/mm]
> Induktionsprinzip
> Güligkeit der Peano Axiome
> Ordnungsrelation (Ordnungsinduktion, Wohlordnung von
> [mm]\IN)[/mm]
> Addition, Multiplikation auf [mm]\IN[/mm]
> [mm]\IN[/mm] ist ein kommutativer Halbring mit 0 und
> Eins-element
>
> Ich verwende die Definition der Addition sowie die
> Kommutativität von [mm]\IN.[/mm]
> +: [mm]\IN \times \IN[/mm] -> [mm]\IN[/mm]
> n+0 =n
> n+S(m)=S(n+m)
>
> 1+1=S(0)+S(0)=S(S(0)+0)
Wieso verwendest du nicht an dieser Stelle die Definition $n+0=n$? Für $n=S(0)$ heißt das $S(0)+0=0$ und somit $S(S(0)+0)=S(S(0))=S(1)=2$.
>=S(0+S(0))=S(S(0+0))=S(S(0))=S(1)=2
>
> Stimmt das? Kommt mir viel zu einfach vor!?
Dein Weg stimmt auch, allerdings verwendest du die Kommutativität, die man hier eigentlich nicht bräuchte, wie mein Weg zeigt. Ist aber alles richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") . Bei solchen Aufgaben, die - wie du sagst - sehr einfach sind, macht es aber vielleicht Sinn, bei jedem Gleichheitszeichen anzugeben, welche Regel man gerade verwendet.
> LG,
> sissi
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Fr 24.10.2014 | | Autor: | sissile |
danke ;)
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