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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend alle zusammen!
Ich beschäftige mich gerade mit dem Buch " Wahrscheinlichkeitstheorie" von Bauer und genau genommen mit dem § 11 Null-Eins-Gesetze.
Ich habe Schwierigkeiten den folgenden Sachverhalt ganz zu verstehen..
Gegeben sei eine beliebige Folge [mm] (A_n)_{n \in \mathbb N } [/mm] von Ereignissen. Dann gilt die Implikation
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} P (A_n) < \infty \ \Rightarrow \ P ( \limsup_{ n \to \infty } A_n ) = 0 [/mm]
Warum ist die Wahrscheinlichkeit 0 ?
Als Begründung im Buch steht :
Sezt man [mm] A:= \limsup_{ n \to \infty } A_n [/mm], so gilt
[mm] A \subset \bigcup_{i=n}^{\infty} A_i [/mm] und somit
[mm] P (A) \le \summe_{i=n}^{\infty} P (A_i).. [/mm]
Und damit folgt die Behauptung.
Ich verstehe nicht, warum daraus folgt, dass [mm] P ( \limsup_{ n \to \infty } A_n ) = 0 [/mm].
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Mo 14.12.2009 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Guten Abend alle zusammen!
>
> Ich beschäftige mich gerade mit dem Buch "
> Wahrscheinlichkeitstheorie" von Bauer und genau genommen
> mit dem § 11 Null-Eins-Gesetze.
> Ich habe Schwierigkeiten den folgenden Sachverhalt ganz zu
> verstehen..
>
> Gegeben sei eine beliebige Folge [mm](A_n)_{n \in \mathbb N }[/mm]
> von Ereignissen. Dann gilt die Implikation
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} P (A_n) < \infty \ \Rightarrow \ P ( \limsup_{ n \to \infty } A_n ) = 0[/mm]
Zur Info - das nennt sich das (erste) Lemma von Borel-Cantelli. Ich weiß nicht was im Bauer steht, zu WTheorie würde ich das Buch von Meintrup, oder evtl. das von Klenke empfehlen.
> Warum ist die Wahrscheinlichkeit 0 ?
>
> Als Begründung im Buch steht :
>
> Sezt man [mm]A:= \limsup_{ n \to \infty } A_n [/mm], so gilt
> [mm]A \subset \bigcup_{i=n}^{\infty} A_i[/mm] und somit
> [mm]P (A) \le \summe_{i=n}^{\infty} P (A_i)..[/mm]
> Und damit folgt
> die Behauptung.
Der Beweis ist auf dem Englischen Wiki ganz gut:
[mm] \IP(\limsup_{n\to\infty} A_N)=\IP(\bigcap_{N=1}^{\infty}\bigcup_{n=N}^{\infty}A_n)\le\inf_{N\ge 1}\IP(\bigcup_{n=N}^{\infty}A_n)\le\inf_{N\ge 1}\summe_{n=N}^{\infty}\IP(A_n)=0.
[/mm]
Zu jedem Schritt:
i) Definition von LimSup über Mengen;
ii) Monotonie des Maßes [mm] \IP;
[/mm]
iii) [mm] \sigma [/mm] -subadditivität des Maßes;
iv) Nach Voraussetzung, da [mm] \IP(A_n) [/mm] Nullfolge sein muss.
>
> Ich verstehe nicht, warum daraus folgt, dass [mm]P ( \limsup_{ n \to \infty } A_n ) = 0 [/mm].
>
> Vielen Dank!
>
> Viele Grüße
> Irmchen
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Irmchen |
Danke!
Den Beweis hatte ich kurz bevor ich den Beitrag gelesen habe gefunden und auch alle Unklarheiten somit beseitigt!
Vielen Dank!
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