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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 So 16.01.2005 | | Autor: | IKE |
hallo,
ich hänge gerade bei der folgenden Aufgabe ein wenig fest.
Sei [mm] (r_{n})_{n \in \IN} [/mm] eine Abzählung von [mm] \IQ [/mm] und f: [mm] \IR \to \IR [/mm] sei definiert durch f(x) [mm] =\begin{cases} \bruch{1}{n} , & \mbox{falls } x=r_n \mbox{ mit }n\in \IN \\ o, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm] Dann existiert [mm] \limes_{x\rightarrow\xi} [/mm] f(x) in allen Punkten [mm] \xi \in \IR.
[/mm]
Dazu habe ich mir überlegt den Beweis indirekt zu führen und anzunehmen, das kein Grenzwert existiert. Also gibt es kein [mm] x_{0} [/mm] in [mm] \IQ, [/mm] dann ist [mm] f(x_{0})<0. [/mm] Und es würde dann auch für [mm] \xi_{n} [/mm] gelten, dass | [mm] \xi_{n}-x_{0}| [/mm] > [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ist. Damit würde dann ja auch f( [mm] \xi_{n}) \not= [/mm] 0 sein und es würde kein Grenzwert existieren.
Ist die richtung einigermaßen richtig, oder wäre es einfacher den Beweis direkt zu führen?
Für ein paar Tipps wäre ich sehr dankbar.
Grüße IKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 So 16.01.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
> Dazu habe ich mir überlegt den Beweis indirekt zu führen
> und anzunehmen, das kein Grenzwert existiert. Also gibt es
> kein [mm]x_{0}[/mm] in [mm]\IQ,[/mm] dann ist [mm]f(x_{0})<0.[/mm]
Wie meinst du das? Dann ist die Funktion doch 0.
Und es würde dann
> auch für [mm]\xi_{n}[/mm] gelten, dass | [mm]\xi_{n}-x_{0}|[/mm] >
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ist. Damit würde dann ja auch f( [mm]\xi_{n}) \not=[/mm]
> 0 sein und es würde kein Grenzwert existieren.
Ich verstehe nicht, was du hier machen willst. Nur weil der Funktionswert in einem Punkt anders ist, kann doch trotzdem der Limes existieren - und anders sein. Nehme zb [mm]x \to x[/mm] und ändere den Wert an der Stelle 0 auf 10 -trotzdem existiert der Grenzwert.
> Ist die richtung einigermaßen richtig, oder wäre es
> einfacher den Beweis direkt zu führen?
Also, direkt ist wirkoich einfacher - überlege dir dazu doch einfach mal: für ein fixiertes n, wie oft kann die Funktion Werte [mm]\ge \bruch{1}{n}[/mm] annehmen? Nach unten ist sie ja durch 0 beschränkt.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 So 16.01.2005 | | Autor: | IKE |
hallo,
also wenn ich mir das so recht überlege, kann ja die Funktion nur n-mal Werte [mm] \ge [/mm] 0 annehmen. Aus diesem Grund ist die Funktion ja auch nach oben beschränkt, weil es nie mehr als n Werte sein können, oder she ich das falsch? Hast du vielleicht noch einen Tipp wie ich weiter vorgehen könnte??
Gruß IKE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 So 16.01.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
> also wenn ich mir das so recht überlege, kann ja die
> Funktion nur n-mal Werte [mm]\ge[/mm] 0 annehmen.
Das müsste hier[mm]\ge \frac{1}{n}[/mm] heissen - habe ich mich in einem Posting auch vertippt, werde das gleich editieren.
> Aus diesem Grund
> ist die Funktion ja auch nach oben beschränkt, weil es nie
> mehr als n Werte sein können, oder she ich das falsch? Hast
> du vielleicht noch einen Tipp wie ich weiter vorgehen
> könnte??
Also, es gibt maximal n-Werte [mm]\ge \frac{1}{n}[/mm]. Als erstes solltest du dir jetzt mal überlegen, was wohl jeweils der Limes der Funktion an einer Stelle [mm]x_0[/mm] sein wird. Jetzt kommt es ein bisschen drauf an, wie ihr den Limes an einer Stelle defineirt hat - probier mal mit der Definition, und der Tatsache, dass für ejdes n es nur endliche viele Stellen gibt, die größer gleich [mm]\bruch{1}{n}[/mm] sind, weiterzuarbeiten.
SEcki
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