Limes von tan(x) an DefGrenzen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 Mo 28.03.2016 | | Autor: | anpera |
| Aufgabe | tan: [mm] (-\pi/2,\pi/2) \to \IR
[/mm]
Bestimme den Grenzwert an den Definitionsgrenzen.
[mm] \limes_{x\uparrow\pi/2} [/mm] tan(x) und [mm] \limes_{x\downarrow -\pi/2} [/mm] tan(x) |
Servus,
ich habe gerade ein Problem bei der Bestimmung des Grenzwerts.
Nach Lösung gilt: [mm] \limes_{x\uparrow \pi/2} tan(x)=+\infty [/mm] und [mm] \limes_{x\downarrow -\pi/2} tan(x)=-\infty.
[/mm]
Dies kann ich nach Betrachtung des Graphen auch nachvollziehen, aber wenn ich es ausrechne komme ich immer auf dieses:
[mm] \limes_{x\uparrow \pi/2} tan(x)=\limes_{x\uparrow \pi/2} \bruch{sin(x)}{cos(x)} [/mm] = [mm] \limes_{x\uparrow \pi/2} \bruch{cos(x)}{-sin(x)} [/mm] = [mm] \bruch{0}{-1} [/mm] = 0
[mm] \limes_{x\downarrow -\pi/2} tan(x)=\limes_{x\downarrow -\pi/2} \bruch{sin(x)}{cos(x)} [/mm] = [mm] \limes_{x\downarrow -\pi/2} \bruch{cos(x)}{-sin(x)} [/mm] = [mm] \bruch{0}{1} [/mm] = 0
Wo liegt mein Denkfehler?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 Mo 28.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo anpera und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> tan: [mm](-\pi/2,\pi/2) \to \IR[/mm]
> Bestimme den Grenzwert an den
> Definitionsgrenzen.
> [mm]\limes_{x\uparrow\pi/2}[/mm] tan(x) und [mm]\limes_{x\downarrow -\pi/2}[/mm]
> tan(x)
> Nach Lösung gilt: [mm]\limes_{x\uparrow \pi/2} tan(x)=+\infty[/mm]
> und [mm]\limes_{x\downarrow -\pi/2} tan(x)=-\infty.[/mm],
Ja.
> Dies kann
> ich nach Betrachtung des Graphen auch nachvollziehen, aber
> wenn ich es ausrechne komme ich immer auf dieses:
> [mm]\limes_{x\uparrow \pi/2} tan(x)=\limes_{x\uparrow \pi/2} \bruch{sin(x)}{cos(x)}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\uparrow \pi/2} \bruch{cos(x)}{-sin(x)}[/mm] =
> [mm]\bruch{0}{-1}[/mm] = 0
> [mm]\limes_{x\downarrow -\pi/2} tan(x)=\limes_{x\downarrow -\pi/2} \bruch{sin(x)}{cos(x)}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\downarrow -\pi/2} \bruch{cos(x)}{-sin(x)}[/mm] =
> [mm]\bruch{0}{1}[/mm] = 0
> Wo liegt mein Denkfehler?
Im jeweils zweiten der vier Gleichheitszeichen.
Vermutlich hast du versucht l'Hospital anzuwenden. Wie lautet diese Regel? Sind hier alle Voraussetzungen erfüllt? (Nein, sind sie nicht. Welche Voraussetzung ist verletzt?)
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Mo 28.03.2016 | | Autor: | anpera |
Danke für die Antwort :)
Definition nach Wikipedia:
Sei [mm] I=(\tilde{x}_0,x_0) [/mm] ein nichtleeres offenes Intervall
Ja
und seien [mm] f,\, [/mm] g [mm] \colon I\to\Bbb{R} [/mm] differenzierbare Funktionen,
Ja
die für [mm] x\nearrow x_0 [/mm] beide gegen 0 konvergieren oder beide bestimmt divergieren.
[mm] sin(\pi/2) [/mm] = 1
[mm] cos(\pi/2) [/mm] = 0
Also hätte ich l'Hospital nicht anwenden dürfen.
Wie würde ich den Grenzwert denn sonst bestimmen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 Mo 28.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
> Definition nach Wikipedia:
> Sei [mm]I=(\tilde{x}_0,x_0)[/mm] ein nichtleeres offenes Intervall
> Ja
> und seien [mm]f,\,[/mm] g [mm]\colon I\to\Bbb{R}[/mm] differenzierbare
> Funktionen,
> Ja
> die für [mm]x\nearrow x_0[/mm] beide gegen 0 konvergieren oder
> beide bestimmt divergieren.
> [mm]sin(\pi/2)[/mm] = 1
> [mm]cos(\pi/2)[/mm] = 0
> Also hätte ich l'Hospital nicht anwenden dürfen.
Genau.
> Wie würde ich den Grenzwert denn sonst bestimmen?
Es gilt
(*) [mm] $\lim_{x\nearrow\frac\pi2}\sin(x)=\sin(\frac\pi2)=1$
[/mm]
wegen der Stetigkeit der Sinusfunktion.
Analog [mm] $\lim_{x\nearrow\frac\pi2}\cos(x)=\cos(\frac\pi2)=0$, [/mm] wobei [mm] $\cos(x)>0$ [/mm] für alle [mm] $x\in(-\frac\pi2,+\frac\pi2)$.
[/mm]
Also
(**) [mm] $\lim_{x\nearrow\frac\pi2}\frac1{\cos(x)}=+\infty$.
[/mm]
Aus (*) und (**) folgt [mm] $\lim_{x\nearrow\frac\pi2}\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=+\infty$.
[/mm]
|
|
|
|
