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direktes Produkt von Mengen

Definition direktes Produkt von Mengen


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Ist $ A $ eine nichtleere Menge und $ \{A_{\alpha}\}_{\alpha \in A} $ eine Familie von Mengen, dann heißt die Menge

$ \prod\limits_{\alpha \in A} X_{\alpha}:=\{f\, \vert \, f:A \to \bigcup\limits_{\alpha \in A}X_{\alpha} \, \mbox{\scriptsize mit} \, f(\alpha) \in X_{\alpha} \, \mbox{\scriptsize f"ur alle} \, \alpha \in A\} $

das direkte (oder cartesische) Produkt der Mengen $ X_{\alpha} $, $ \alpha \in A $.

Für eine endliche Indexmenge, z.B. $ A=\{1,2,\ldots,n\} $, schreibt man

$ \prod\limits_{\alpha \in A} X_{\alpha} = \prod\limits_{i=1}^n X_i = X_1 \times \ldots \times X_n $.

In Übereinstimmung mit den $ n $-Tupeln schreibt man auch bei beliebigem $ A $ $ (A \ne \emptyset) $ die Elemente $ f \in \prod\limits_{\alpha \in A}X_{\alpha} $ in der Form $ f=(f_{\alpha})_{\alpha \in A} $. Hierin ist $ f_{\alpha} = f(\alpha) \in X_{\alpha} $ gemeint.


Quelle: isbn3446130799



Erstellt: Mi 20.07.2005 von Stefan
Letzte Änderung: So 07.08.2005 um 15:02 von Marc
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