MatheRaum - Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft für Mathematik
URL: http://schulmatheforum.de/vorkurszettel?id=1
Dipl. math. Felix Fontein
Dipl. math. Dieter Osterholz		www.matheraum.de
Algebra-Training 2006
Aufgabenblatt 1
Abgabe: Fr 08.09.2006 12:00		01.09.2006
Aufgabe 1
Sei G ein Monoid. Wir betrachten die folgenden Bedingungen:
(i) G ist eine Gruppe.
(ii) Sind $ a, x, y \in G $ mit a x = a y oder x a = y a, dann gilt x = y.

Die Implikation ''$ (i) \Rightarrow (ii) $'' gilt immer.
Zeige, dass die andere Implikation ''$ (ii) \Rightarrow (i) $'' für endliche Monoide auch immer gilt. Gib weiterhin ein Beispiel für einen unendlichen Monoid an, wo sie nicht gilt.
Aufgabe 2
Sei X eine Menge und $ Y \subseteq X $ eine Teilmenge.
Zeige, dass die Gruppe S(Y) auf kanonische Weise als Untergruppe von S(X) aufgefasst werden kann.


Hinweis: Bei dieser Aufgabe geht es auch daraum, ueber das Wort 'kanonisch' nachzudenken :-) Falls euch das Wort nicht vertraut ist, schaut mal []hier.
Aufgabe 3
Sei G eine endliche abelsche Gruppe (multiplikativ geschrieben). Dann gilt $ \prod_{g\in G} g^2 = 1 $.
Aufgabe 4
Sei G eine Gruppe mit der Eigenschaft, dass für jedes Element $ g \in G $ gilt $ g^2 = 1 $ (dabei sei 1 das neutrale Element der Gruppe).
Zeige, dass G abelsch ist.
Aufgabe 5
Sei G eine Gruppe und seien $ H_i \subseteq G $, i = 1, 2 Untergruppen. Zeige, dass folgende beiden Aussagen äquivalent sind:
(i) $ H_1 \cup H_2 $ ist eine Untergruppe von G;
(ii) $ H_1 \subseteq H_2 $ oder $ H_2 \subseteq H_1 $.
© Copyright 2003-24 www.schulmatheforum.de
Der Inhalt dieser Seite kann -- sofern nicht anders lautend gekennzeichnet -- durch jedermann gemäß den Bestimmungen der Lizenz für Freie Inhalte genutzt werden.