Überabzählbarkeit von Mengen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich habe folgende Aufgabe gestellt bekommen:
Zeigen Sie:
(a) Ist M eine Menge, so gibt es keine surjektive Abbildung f: [mm] M\to \cal{P} [/mm] M ( gemeint ist die Potenzmenge)
hierbei weiß ich, dass ich das Gegenteil annehmen sollte und [mm] M_{0}:= [/mm] { x [mm] \in [/mm] M; x [mm] \not\in [/mm] f(x)} betrachten. Kann das aber trotzdem nicht lösen.
(b) [mm] \cal{P}(\IN) [/mm] ist überabzählbar
weiss nicht, wie ich das zeigen soll, es wäre echt super, wenn man mir das für diesen Fall zeigen könnte und ich mal ein allgemeines "zeigen sie" Konzept in meinen Schädel rein bekomme, weil in der Schule haben wir nie Beweise geführt und mein Prof in den Übungen kann das nicht so gut erklären, so mit Ansätzen und so...
und
(c) Zeigen sie: Die Menge aller endlichen Teilmengen von [mm] \IN [/mm] ist abzählbar.
Ich habe echt keinen Schimmer.
Ich danke denjenigen fleißigen Köpfen von euch schon mal im Vorraus, weil ich weiß ja, dass das alles eure Freizeit ist und ihr auch viel angenehmere Dinge tun könntet. DANKE!!!!!!!!!!!!
(ich beschäftige mich jetzt noch mit Linearer Algebra und Analytischer Geometrie...)
MfG
Limes
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hatten wir aber schon mal als Aufgabe in LAAG zu lösen die a) als Zusatzaufgabe...
Musst dich aber mal reinfinden in meine Bezeichnung
[mm] f:M\to [/mm] p(M)
Annahme:
Es gibt eine surjektive Abbildung
Dann ist [mm] B_{f}:={x\in M |x\not\in f(x)} \Rightarrow B_{f}\subsetM
[/mm]
f ist surjektiv, also folgt, dass es ein y in M gibt mit [mm] f(y)=B_{f}
[/mm]
Fall 1:
y in [mm] f(y)=B_{f}
[/mm]
Widerspruch, denn nach Definiton von [mm] B_{f} [/mm] wäre y in [mm] B_{f} [/mm] und damit
[mm] y\not\in [/mm] f(y)
Fall 2:
y nicht in [mm] f(y)=B_{f}
[/mm]
Widerspruch, da nach Definiton von [mm] B_{f} [/mm] y ein Element von [mm] B_{f}
[/mm]
Damit wurde die Annahme widerlegt, somit gibt es keine surjektive Abbildung einer Menge M auf ihre Potenzmenge p(M).
Damit ist der Beweis erledigt.
Also in LAAG gabs die volle Punktzahl dafür....
mfg
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Hi!
Danke erstmal für deine Mühe, aber was soll dieses durchgestrichene "inf" bedeuten? ich seh da nicht richtig durch...
Bitte um Aufklärung.
Danke!
MfG
Limes
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Sorry!!
Gestern hatte sich die Seite bei mir nicht mehr aktualisiert, also konnte ich auch nicht Korrektur lesen von dem, was ich geschrieben habe.
So sollte es jetzt aber richtig sein.
mfg
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Hallo,
Da ich auch die Aufgaben zu machen habe, hier mal mein Vorschlag für c
Es sei L die Menge aller endlichen Teilmengen A [mm] \subseteq \IN [/mm] mit [mm]x\le n[/mm] für alle [mm] x\in [/mm] A
Offenbar ist L endlich und für die Menge M aller endlichen Teilmengen von [mm] \IN [/mm] gilt:
M= [mm] \bigcup_{n=0}^{\infty} [/mm] L
Als abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen ist M abzählbar.
An sich ist ja [mm] \IN [/mm] schon abzählbar. Und jede Teilmenge ist endlich oder abzählbar unendlich.
mfg
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Ich hab das einfach mit den Bemerkungen aus der Vorlesung versucht.
Da heißt es: Eine Teilmenge ist dann abzählbar, wenn die gesamte Menge abzählbar ist, d.h.: wenn N echte Teilmenge von M und M abzählbar, dann ist auch N abzählbar. Und da in dem Skript steht, dass Die Menge der natürlichen Zahlen abzählbar ist, muss ja logischerweise auch die Menge aller endlichen Teilmenge abzählbar sein, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:47 Mi 01.12.2004 | | Autor: | Maluma |
Hallo Limes,
> wenn N echte Teilmenge von M und M abzählbar, dann ist auch N
> abzählbar.
Hier geht es um Teilmengen ...
> Und da in dem Skript steht, dass Die Menge der natürlichen Zahlen
> abzählbar ist, muss ja logischerweise auch die Menge aller endlichen
> Teilmenge abzählbar sein
... und hier um die Menge von Teilmengen. Das ist schon ein Unterschied, oder? Ganz genau weiß ich es selbst auch nicht, aber ich denke, als Begründung wird das nicht ganz ausreichen. Ich habe mir überlegt, die Aufgabe mit dieser quadratischen Aufstellung der Zahlen zu erklären, also dass in der ersten Reihe die einelementigen Teilmengen stehen, in der zweiten die zweielementigen u.s.w. So ähnlich wie wir es bei der Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen gemacht haben.
Vielleicht hilft dir das ja weiter.
Gruß,
Maluma
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hallo,
Kann mir jemand zur Aufgabe b) also das die Potenzmenge überabzählbar ist einen Hinweis geben??
Wäre echt nett.
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Di 30.11.2004 | | Autor: | Maluma |
Hallo,
die Überabzählbarkeit der Potenzmenge würde ich mit a) begründen: Wenn man für M als Menge [mm] \IN [/mm] einsetzt, bedeutet a), dass es keine surjektive Abbildung f: [mm] \IN \to \cal{P}(\IN) [/mm] gibt. Also ist die Potenzmenge von [mm] \IN [/mm] nicht abzählbar.
Gruß,
Maluma
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Hallo,
Das hatte ich mir dann auch überlegt. Denn überabzählbar heisst ja nicht abzählbar und das kann zwei was bedeuten. Einmal nicht endlich und zum zweiten nicht abzählbar unendlich und beides erfordert die Eigenschaft einer bijektiven bzw. surjektiven Abbildung, was bei a) wie du schon sagtest widerlegt wurde.
Ich hoffe nur, dass es auch so ausreicht.
mfg
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Wiederum in der Vorlesung haben wir verzeichnet, dass [mm] \IR [/mm] die gleiche Mächtigkeit wie [mm] \cal{P} (\IN) [/mm] hat und da [mm] \IR [/mm] überabzählbar ist, ist auch die Potenzmenge von den natürlichen Zahlen überabzählbar, oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Mi 01.12.2004 | | Autor: | Maluma |
Nochmal hallo Limes,
deine Begründung haut schon hin. Aber wir haben in der Vorlesung ja nur behauptet, dass [mm] \IR [/mm] und [mm] \cal{P} [/mm] die gleiche Mächtigkeit haben. Also müsste man das dann wahrscheinlich noch begründen, um es als Beweis nehmen zu können.
Gruß,
Maluma
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