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| Aufgabe | Welches der folgenden Mengensysteme m ist eine monotone Klasse?
a)m:=J^-1=alle eindimensionalen Quader
b)m:={A [mm] \subset \IR^3:(1,2,3) \in [/mm] A}
c)m:={A [mm] \subset \IR^2 [/mm] :A ist kompakt}
d)m:={A [mm] \subset \IR^2 [/mm] :A [mm] \cap [/mm] (IR x {0} ist eine Borelmenge in IR x {0}} |
Hallo,
Ich habe versucht die Definition von einer monotonen Klasse hierrauf anzuwenden,hat aber irgendwie nicht wirklich geklappt.Diese lautet:Ist [mm] X\not= \emptyset [/mm] eine Menge,so heißt [mm] \emptyset \not= [/mm] M [mm] \subset [/mm] P(X) eine monotone Klasse,falls für jede wachsende Folge [mm] (A_{j})_{j \in \IN} [/mm] in M und für jede fallende Folge [mm] (B_{j})_{j \in \IN} [/mm] in M sowohl [mm] \cup_{j \in \IN} A_j
[/mm]
als auch [mm] \cap_{j \in \IN} B_j [/mm] in M sind.
Könnt ihr mir da vielleicht einen Anstoß geben?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Mo 17.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Welches der folgenden Mengensysteme m ist eine monotone
> Klasse?
> a)m:=J^-1=alle eindimensionalen Quader
> b)m:={ A [mm] \subset \IR^3:(1,2,3) \in [/mm] A }
Zu b) Nimm mal eine wachsende Folge $ [mm] (A_{j})_{j \in \IN} [/mm] $ in M und eine fallende Folge $ [mm] (B_{j})_{j \in \IN} [/mm] $ in M
Dann ist (1,2,3) in jedem [mm] A_j [/mm] und in jedem [mm] B_j.
[/mm]
Dann liegt doch (1,2,3) in $ [mm] \cup_{j \in \IN} A_j [/mm] $ und in $ [mm] \cap_{j \in \IN} B_j [/mm] $,
also gehören $ [mm] \cup_{j \in \IN} A_j [/mm] $ und $ [mm] \cap_{j \in \IN} B_j [/mm] $ zu M
Kommst Du nun klar mit a), c) und d) ?
FRED
> c)m:={A [mm] \subset \IR^2 [/mm] :A ist kompakt}
> d)m:={A [mm] \subset \IR^2 [/mm] :A [mm] \cap [/mm] (IR x {0} ist eine Borelmenge in IR x {0}}
> Hallo,
>
> Ich habe versucht die Definition von einer monotonen Klasse
> hierrauf anzuwenden,hat aber irgendwie nicht wirklich
> geklappt.Diese lautet:Ist [mm]X\not= \emptyset[/mm] eine Menge,so
> heißt [mm]\emptyset \not=[/mm] M [mm]\subset[/mm] P(X) eine monotone
> Klasse,falls für jede wachsende Folge [mm](A_{j})_{j \in \IN}[/mm]
> in M und für jede fallende Folge [mm](B_{j})_{j \in \IN}[/mm] in M
> sowohl [mm]\cup_{j \in \IN} A_j[/mm]
> als auch [mm]\cap_{j \in \IN} B_j[/mm]
> in M sind.
> Könnt ihr mir da vielleicht einen Anstoß geben?
>
> LG
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Hallo Fred,
Danke für deine Hilfe.
Zu b) Nimm mal eine wachsende Folge $ [mm] (A_{j})_{j \in \IN} [/mm] $ in M und eine fallende Folge $ [mm] (B_{j})_{j \in \IN} [/mm] $ in M
-Ok, also [mm] vielleicht,A_j=j^3*x \Rightarrow A_1=(1,2,3),A_2=2^3*(1,2,3)=(8,16,24), A_3=(27,54,81).
[/mm]
die fallende [mm] Folge:B_j=1/(j*x),B_1=(1,1/2,1/3)???
[/mm]
Dann ist (1,2,3) in jedem [mm] A_j [/mm] und in jedem [mm] B_j.
[/mm]
Dann liegt doch (1,2,3) in $ [mm] \cup_{j \in \IN} A_j [/mm] $ und in $ [mm] \cap_{j \in \IN} B_j [/mm] $,
also gehören $ [mm] \cup_{j \in \IN} A_j [/mm] $ und $ [mm] \cap_{j \in \IN} B_j [/mm] $ zu M
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:24 Di 18.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> Danke für deine Hilfe.
> Zu b) Nimm mal eine wachsende Folge [mm](A_{j})_{j \in \IN}[/mm] in
> M und eine fallende Folge [mm](B_{j})_{j \in \IN}[/mm] in M
> -Ok, also [mm]vielleicht,A_j=j^3*x \Rightarrow A_1=(1,2,3),A_2=2^3*(1,2,3)=(8,16,24), A_3=(27,54,81).[/mm]
>
> die fallende [mm]Folge:B_j=1/(j*x),B_1=(1,1/2,1/3)???[/mm]
Was machst Du eigentlich ????????????????????????????
Eine Folge [mm] (A_j) [/mm] von Mengen heißt wacsend , wenn
[mm] A_1 \subseteq A_2 \subseteq A_3 \subseteq [/mm] .......................
FRED
>
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> Dann ist (1,2,3) in jedem [mm]A_j[/mm] und in jedem [mm]B_j.[/mm]
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> Dann liegt doch (1,2,3) in [mm]\cup_{j \in \IN} A_j[/mm] und in
> [mm]\cap_{j \in \IN} B_j [/mm],
>
> also gehören [mm]\cup_{j \in \IN} A_j[/mm] und [mm]\cap_{j \in \IN} B_j[/mm]
> zu M
>
> LG
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