apriori-Dichte < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Fr 27.04.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, ich habe folgendes Verständnisproblem.
Und zwar lautet bei stetiger apriori-Dichte die aposteriori Dichte ja:
[mm] $\frac{f(X=x|Y=\theta)g(\theta)}{\int_{\Theta'}f(X=x|Y=\theta')g(\theta')\, d\theta'}$
[/mm]
Mir ist unklar, wie man auf den Nenner kommt.
Und zwar steht doch im Nenner die Dichte der Wahrscheinlichkeit $P(X)$ (Satz von Bayes) und diese ist doch die sog. totale Wahrscheinlichkeit, also:
[mm] $P(X)=\sum_{\theta'\in\Theta'}P(X=x|Y=\theta')P(\theta')$.
[/mm]
Ich hatte ja nun angenommen, daß die apriori-Verteilung stetig ist, also kann ich doch sagen:
[mm] $P(\theta')=\int_{\theta'}g(y)\, [/mm] dy$ und habe also schonmal:
[mm] $P(X)=\sum_{\theta'\in\Theta'}P(X=x|Y=\theta')\int_{\theta'}g(y)\, [/mm] dy$.
Aber wie komme ich jetzt auf die Dichte im obigen Nenner?
Dazu muss ich doch am Ende haben (wenn X stetig verteilt ist):
[mm] $P(X)=\int_{x\in B}\int_{\Theta'}f(X=x|Y=\theta')g(\theta')\, d\theta'~dx$ [/mm] - oder? (Nur dann ergibt sich doch die Dichte, die oben im Nenner steht.)
bzw. wenn X diskret verteilt ist:
[mm] $P(X)=\sum_{x\in B}\int_{\Theta'}f(X=x|Y=\theta')g(\theta')\, d\theta'$
[/mm]
Aber wie komme ich darauf? |
Also ich habe halt Probleme zu erkennen, wie der Nenner obiger aposteriori-Dichte mit der Dichte der totalen Wahrscheinlichkeit zusammenhängt, die ja nach der Bayesformel im Nenner steht.
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 13:27 Fr 27.04.2012 | | Autor: | dennis2 |
hi, ich bin nun kein experte auf dem gebiet, aber ich würde es so sagen:
angenommen X und Y sind beide stetig verteilt, dann hast du für die totale w.keit P(X) meines erachtens folgendes:
[mm] $P(X=x)=\sum_{\theta'\in\Theta'}P_{\theta'}(X=x)P(Y=\theta')=\sum_{\theta'\in\Theta'}\int_{x\in B}f_{\theta'}(x)\, dx\int_{\theta'}g(y)\, dy=\sum_{\theta'\in\Theta'}\int_{B}\int_{\theta'}f_{\theta'}(x)g(y)\, dy\, [/mm] dx$
weiß jemand, ob man nun das Summenzeichen vor das innere integral ziehen darf, also ob man weiter machen kann mit:
[mm] $=\int_B\sum_{\theta'\in\Theta'}\int_{\theta'}f_{\theta'}(x)g(y)\, dy\, [/mm] dx$?
falls ja, würde jetzt meines wissens folgen, daß man auch gleich über den ganzen parameterraum [mm] $\Theta'$ [/mm] integrieren kann, da die [mm] $\theta'$ [/mm] ja eine partition davon bilden, dann hätte man also
[mm] $P(X)=\int_{B}\int_{\Theta'}f_{\theta'}(x)g(y)\, dy\, [/mm] dx$ und damit hätte
$P(X)$ die gewünschte Form, sodaß man sehen kann, daß die Dichte [mm] $\int_{B}f_{\theta'}(x)g(y)\, [/mm] dy$ ist.
es wäre toll, wenn jemand klügeres als ich dazu was sagen würde oder mich korrigieren würde, denn ich möchte nichts falsches geantwortet haben
danke
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:07 Fr 27.04.2012 | | Autor: | mikexx |
Sieht ja gut aus, aber kann das jemand bestätigen?
Nicht, dass ich mich jetzt zu früh freue und dann ist es falsch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 So 29.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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