Äquivalenzklassen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Di 18.09.2007 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | 1) Beispiel für eine Äquivalenzrelation auf der Menge der natürlichen Zahlen mit unendlich vielen Äquivalenzklassen
2) Beispiel für eine Äquivalenzrelation auf der Menge der natürlichen Zahlen mit endlich vielen Äquivalenzklassen
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Vorab: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Sind meine Überlegungen richtig ?
Zu 1)
[mm] x \sim y [/mm] genau dann, wenn x und y dieselbe Quersumme haben
Die Äquivalenzklassen sind alle möglichen Quersummenwerte und diese sind unendlich.
Zu 2)
(Hier habe ich ein Beispiel gefunden, das ich nicht verstehe und deshalb vielleicht auch nicht endlich viele Äquivalenzklassen hat)
[mm] R = \{(x,y) \in \IN \times \IN | x=y [/mm] oder [mm] x+y=26 \} [/mm] ist eine Äquivalenzrelation auf [mm] \IN [/mm]
Danke, Susanne.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:07 Di 18.09.2007 | | Autor: | FxB |
https://matheraum.de/read?t=300078
ey leute , ich habe auch ne frage checkt mal mein topic ganz open plssssss
morgen klausur
helf mir mit den tangentennnn!!!
guckt oben
free d2 items für den gewinner !
https://matheraum.de/read?t=300078
ll
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 Di 18.09.2007 | | Autor: | dormant |
Mann, ruhig bleiben, wir checken das schon.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Di 18.09.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Zu 1)
> [mm]x \sim y[/mm] genau dann, wenn x und y dieselbe Quersumme
> haben
> Die Äquivalenzklassen sind alle möglichen Quersummenwerte
> und diese sind unendlich.
Ok, ein schönes Beispiel. Ein triviales Beispiel wäre x=y, also die Gleichheit zweier Elemente.
> Zu 2)
> (Hier habe ich ein Beispiel gefunden, das ich nicht
> verstehe und deshalb vielleicht auch nicht endlich viele
> Äquivalenzklassen hat)
> [mm]R = \{(x,y) \in \IN \times \IN | x=y[/mm] oder [mm]x+y=26 \}[/mm] ist
> eine Äquivalenzrelation auf [mm]\IN[/mm]
Wie oben angemerkt hat schon x=y unendlich viele ÄKlassen. Dafür hat aber x+y=26 nur endlich viele, nämlich 27 (wenn man die 0 zu [mm] \IN [/mm] nimmt).
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Di 18.09.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo dormant, vielen Dank für deine schnelle Hilfe !
> Wie oben angemerkt hat schon x=y unendlich viele ÄKlassen.
> Dafür hat aber x+y=26 nur endlich viele, nämlich 27 (wenn
> man die 0 zu [mm]\IN[/mm] nimmt).
Ich verstehe die Definition der Relation nicht: Hat diese entweder unendlich viele Klassen oder 27 ? Oder wie ist das zu verstehen ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Di 18.09.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Wir definieren folgende Relation [mm] x\sim [/mm] y, wenn x+y=26. Das ist die Definition der Relation. Für alle Zahlen die kleiner oder gleich 26 sind gibt es eine Äquivalenzklasse. Für alle Zahlen, die größer als 26 sind, gibt es keine. Diese Relation nennen wir einfach [mm] \sim_{26}.
[/mm]
Die Relation [mm] x\sim [/mm] y, wenn x=y, hat unendlich viele ÄKlassen, da jede Zahl zu sich äquivalent ist. Diese Relation nennen wir einfach =.
So. Das Beispiel das du hast, definiert eine dritte Relation [mm] \sim, [/mm] für die gilt [mm] x\sim [/mm] y, wenn x=y ODER [mm] x\sim_{26} [/mm] y. Somit hat sie unendlich viele Klassen, da die Relation = für alle natürlichen Zahlen zutrifft. Würde da UND statt ODER stehen, dann hätte sie endlich viele Klassen.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Di 18.09.2007 | | Autor: | SusanneK |
> kleiner oder gleich 26 sind gibt es eine Äquivalenzklasse.
> Für alle Zahlen, die größer als 26 sind, gibt es keine.
> Diese Relation nennen wir einfach [mm]\sim_{26}.[/mm]
Und wenn es für die anderen Zahlen aus [mm] \IN [/mm] keine Ä-Relation gibt, dann wäre die Definition ohne das ODER keine Ä-Relation - stimmt das ?
Weisst du denn eine mit endlich vielen Ä-Klassen auf [mm] \IN [/mm] ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Di 18.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Susanne!
> > kleiner oder gleich 26 sind gibt es eine Äquivalenzklasse.
> > Für alle Zahlen, die größer als 26 sind, gibt es keine.
> > Diese Relation nennen wir einfach [mm]\sim_{26}.[/mm]
> Und wenn es für die anderen Zahlen aus [mm]\IN[/mm] keine
> Ä-Relation gibt, dann wäre die Definition ohne das ODER
> keine Ä-Relation - stimmt das ?
Richtig, denn es gäbe Elemente, die nicht zu sich selbst äquivalent sind (alle über 26).
> Weisst du denn eine mit endlich vielen Ä-Klassen auf [mm]\IN[/mm] ?
Es gibt eine ganz einfache solche Äquivalenzrelation: alle [mm]x\in\IN[/mm] sind zueinander äquivalent. Dann gibt es nur eine Äquivalenzklasse, nämlich [mm]\IN[/mm] selbst.
Ein anderes Beispiel wäre:
[mm]x \sim y[/mm] genau dann, wenn [mm]x-y[/mm] durch 2 teilbar ist.
Da gibt es zwei Äquivalenzklassen: eine enthält alle geraden natürlichen Zahlen, die andere alle ungeraden.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:08 Di 18.09.2007 | | Autor: | SusanneK |
Vielen Dank für die schnelle und tolle Hilfe !!!
LG, Susanne.
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