Äquivalenz von Aussagen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:37 Fr 26.11.2004 | | Autor: | destiny |
Hallo!
Ich muss eine Aufgabe lösen, bei der ich die Äquivalenz zweier Aussagen beweisen soll.
Allerdings weiß ich nicht, wie.
Aufgabe:
Sei K ein Körper, und sei A [mm] \in K^{n,n} [/mm] für ein n [mm] \ge [/mm] 1.
Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) Für alle B [mm] \in K^{n,n} [/mm] gilt AB=BA.
(ii) Es gibt ein [mm] \lambda \in [/mm] K mit A= [mm] \lambda [/mm] E.
Ich weiß erstens nicht, wie ich die Aussagen zeigen soll, und zweitens verstehe ich die Aussage (i) nicht. Ich hab gedacht, die Aussage (i) gilt nur, wenn man Matrizen in [mm] K^{1,1} [/mm] betrachtet, und nicht in [mm] K^{n,n}.
[/mm]
Warum gilt (i) und wie löse ich überhaupt die Aufgabe?
danke für eure Hilfe.
Destiny
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Hallo Destiny,
> Aufgabe:
> Sei K ein Körper, und sei A [mm]\in K^{n,n}[/mm] für ein n [mm]\ge[/mm] 1.
> Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
> (i) Für alle B [mm]\in K^{n,n}[/mm] gilt AB=BA.
> (ii) Es gibt ein [mm]\lambda \in[/mm] K mit A= [mm]\lambda[/mm] E.
> Ich weiß erstens nicht, wie ich die Aussagen zeigen soll,
> und zweitens verstehe ich die Aussage (i) nicht. Ich hab
> gedacht, die Aussage (i) gilt nur, wenn man Matrizen in
> [mm]K^{1,1}[/mm] betrachtet, und nicht in [mm]K^{n,n}.
[/mm]
ich glaube in dem Fall ist es einfacher mit der Rückrichtung anzufangen du weißt ja, dass gilt C* E = E*C
und jetzt schau dir mal genau an wie dein A sich von E unterscheidet und was bezüglich Skalaren und Matrizen gilt.
Wenn du dies jetzt zusammen puzzelst müstest du eigentlich auf die Lösung kommen.
> Warum gilt (i) und wie löse ich überhaupt die Aufgabe?
> danke für eure Hilfe.
Das müsste auch klar werden, wenn du dir zu erst die Hinrichtung anschaust.
Viele Grüße
Christin
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