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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 Mo 04.09.2006 | | Autor: | hooover |
| Aufgabe | Gegen sei die FKt. [mm] f:\IR\to\IR
[/mm]
[mm] f{x}=ln(\wurzel{x+3})-\bruch{2}{x+3}
[/mm]
a) Bestimme den Definitionsbereich von f.
b) Berechne das Taylorpolynom 3. Grades von f mit Eintwicklungspunkt [mm] x_{o}=-2
[/mm]
c)Approximiere f{-1} mit Hilfe des Taylorpolynoms und schätze den Fehler nach oben ab.
d) Wie lautet die Tangentengleichung für f an dewr Stelle x=-2 ? |
Hallo liebe Leute,
hier mal wieder ein paar Fragen von mir.
zu a)
Die Fkt. ist definiert für alle [mm] x\varepsilon\IR [/mm] \ {-3}
zu b)
als erstes mache ich die ersten drei ableitungen
[mm] f{x}=ln(\wurzel{x+3})-\bruch{2}{x+3}
[/mm]
[mm] f'{x}=\bruch{x+7}{2(x+3)^2}
[/mm]
[mm] f''{x}=\bruch{-(x+11)}{2(x+3)^3}
[/mm]
[mm] f'''{x}=\bruch{x+15}{(x+3)^4}
[/mm]
nach der Formel
[mm] f{x_{0}}+\bruch{f'{x_{0}}}{1!}(x-x_{0})+\bruch{f''{x_{0}}}{2!}(x-x_{0})+\bruch{f'''{x_{0}}}{3!}(x-x_{0})
[/mm]
einsetzen
dann macht das
[mm] \bruch{13}{6}x^3+\bruch{43}{4}x^2+\bruch{39}{2}x+\bruch{34}{3}
[/mm]
zu c)
jetzt setzte ich halt für x=-1 ein
was 0,41667 sein müßte.
so jezt das Fehlergleid berchen mit der vierten Ableitung
[mm] f^{4}=\bruch{-3x-57}{(x+3)^5}
[/mm]
[mm] R_{3}=\bruch{f^4(\partial)}{4!}x^4
[/mm]
naja ich bin mir nicht sicher ob das so richtig ist.
weiter würde ich dann so machen.
[mm] \limes_{n\rightarrow-1}\bruch{R_{3}(x)}{4!}x^4=\limes_{n\rightarrow-1}\bruch{-3x-57}{(x+3)^5}x^4*\bruch{1}{24}=0,078125
[/mm]
kann das stimmen? Habe ich irgendwo fehler gemacht?
zu d)
t=mx+b für x=-2
t=m(-2)+b
äh ich weiß hier leider nicht weiter. ich weiß ist nicht viel aber vielleicht hat jemand eine tipp für mich.
vielen Dank und gruß hooover.
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Hi,
Dein Definitionsterm gilt nur für den Bruch.
Da es eine Funktion [mm] f:\IR \to\IR [/mm] ist, musst du schauen, dass die Wurzel im ln nicht negativ wird.
Deine Ableitungen sind allesamt richtig, aber die von dir angegebene Taylorreihe ist nicht korrekt. Du hast mE den Entwicklungspunkt nicht eingesetzt.
Richtig wäre:
[mm] f(x_0)=-2+\bruch{5}{2}(x+2)-\bruch{9}{4}(x+2)^2+\bruch{13}{6}(x+2)^3
[/mm]
Zur Tangentengleichung:
f'(x) ist immer Tangente an f(x). Nun musst du sehen, dass f'(x) bei [mm] x_0=-2 [/mm] Tangente ist.
Gruß
Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Mo 04.09.2006 | | Autor: | hooover |
> Hi,
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> Dein Definitionsterm gilt nur für den Bruch.
> Da es eine Funktion [mm]f:\IR \to\IR[/mm] ist, musst du schauen,
> dass die Wurzel im ln nicht negativ wird.
als ist die Fkt. ist für alle [mm] x\varepsilon\IR [/mm] außer [mm] \le [/mm] -3 definiert
> Deine Ableitungen sind allesamt richtig, aber die von dir
> angegebene Taylorreihe ist nicht korrekt. Du hast
mE (was meinst du denn hier mit?)
> Entwicklungspunkt nicht eingesetzt.
>
> Richtig wäre:
>
> [mm]f(x_0)=-2+\bruch{5}{2}(x+2)-\bruch{9}{4}(x+2)^2+\bruch{13}{6}(x+2)^3[/mm]
hatt ich das nicht so gemacht? damit wäre das dann zusammengefasst
[mm] \bruch{13}{6}x^3+\bruch{43}{4}x^2+\bruch{39}{2}x+\bruch{34}{3}
[/mm]
also wäre f{-1}=0,416666666667
sehe aber gerade das ich das auch shcon vorher raus hatte. mhh?
stimmmt das oder nicht?
> Zur Tangentengleichung:
> f'(x) ist immer Tangente an f(x). Nun musst du sehen, dass
> f'(x) bei [mm]x_0=-2[/mm] Tangente ist.
>
ok die 2. Abl. ist ja [mm] \bruch{x+7}{2(x+3)^2}
[/mm]
und
t=mx+b
gut jetzt das irgendwie miteinander verbinden?!?
ok da knoble ich noch etwas dran
Frage: Wie sieht es denn mit aufgabe c) aus? Ist das soweit richtig?
vielen Dank gruß hooover
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Die Funktion ist [mm] \forall [/mm] x>3 definiert. (Warum nicht [mm] \forall [/mm] x [mm] \ge [/mm] 3?)
mE heißt soviel wie "meiner Meinung nach".
Ja jetzt sehe ich es auch. Deine Taylorreihe ist richtig.
Für f(-1) habe ich den selben Wert wie du.
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