Stetigkeit zweier Funktionen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Mi 16.11.2011 | | Autor: | unibasel |
| Aufgabe | | Seien [mm] f,g:\IR\to\IR [/mm] zwei stetige Funktionen mit f(x)=g(x) für alle [mm] x\in\IQ. [/mm] Zeigen Sie, dass f(x)=g(x) für alle [mm] x\in\IR. [/mm] |
Wie muss ich denn hier vorgehen?
Nun zuerst habe ich mir überlegt:
f und g sind stetig.
Sei also [mm] f:D\to\IR [/mm] und [mm] a\inD. [/mm] Die Funktion f heisst stetig im Punkt a, falls [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x)=f(a).
[/mm]
Das Gleiche gilt für die Funktion g.
Kann man diese zwei dann vergleichen? Oder wie macht man denn das?
Oder muss man das mit Hilfe der [mm] \varepsilon-\delta-Umgebung [/mm] machen?
Also dies wäre ja dann: Seien [mm] f,g:D\to\IR [/mm] zwei Funktionen, die in einer Umgebung eines Punktes [mm] a\inD [/mm] bereinstimmen, d.h es gebe ein [mm] \varepsilon>0, [/mm] so dass f(x)=g(x) für alle [mm] x\inD [/mm] mit [mm] |x-a|<\varepsilon.
[/mm]
Ich denke der zweite Ansatz sagt genau dies aus, aber wie muss ich denn das machen? Ich verstehe nicht ganz, wie man auf das [mm] \varepsilon [/mm] bzw. [mm] \delta [/mm] kommt, welches man ja irgendwie wählen muss...
Danke schonmal.
lg
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Hallo unibasel,
betrachte hier h(x)=f(x)-g(x). h(x)=0 für [mm] x\in\IQ.
[/mm]
Nun wähle ein beliebiges [mm] x_i\in\IR, x_i\not\in\IQ [/mm] und betrachte eine [mm]\varepsilon-\delta[/mm]-Umgebung von [mm] (x_i, h(x_i)). [/mm] Folgere aus der Definition der Stetigkeit den Funktionswert [mm] h(x_i).
[/mm]
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:42 Mi 16.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]f,g:\IR\to\IR[/mm] zwei stetige Funktionen mit f(x)=g(x)
> für alle [mm]x\in\IQ.[/mm] Zeigen Sie, dass f(x)=g(x) für alle
> [mm]x\in\IR.[/mm]
> Wie muss ich denn hier vorgehen?
>
> Nun zuerst habe ich mir überlegt:
> f und g sind stetig.
> Sei also [mm]f:D\to\IR[/mm] und [mm]a\inD.[/mm] Die Funktion f heisst stetig
> im Punkt a, falls [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x)=f(a).[/mm]
> Das Gleiche gilt für die Funktion g.
>
> Kann man diese zwei dann vergleichen? Oder wie macht man
> denn das?
>
> Oder muss man das mit Hilfe der [mm]\varepsilon-\delta-Umgebung[/mm]
> machen?
> Also dies wäre ja dann: Seien [mm]f,g:D\to\IR[/mm] zwei Funktionen,
> die in einer Umgebung eines Punktes [mm]a\inD[/mm] bereinstimmen,
> d.h es gebe ein [mm]\varepsilon>0,[/mm] so dass f(x)=g(x) für alle
> [mm]x\inD[/mm] mit [mm]|x-a|<\varepsilon.[/mm]
> Ich denke der zweite Ansatz sagt genau dies aus, aber wie
> muss ich denn das machen? Ich verstehe nicht ganz, wie man
> auf das [mm]\varepsilon[/mm] bzw. [mm]\delta[/mm] kommt, welches man ja
> irgendwie wählen muss...
>
> Danke schonmal.
> lg
Sei [mm] x_0 \in \IR. [/mm] Du solltest wissen, dass es eine Folge [mm] (r_n) [/mm] rationaler Zahlen gibt mit:
[mm] r_n \to x_0 [/mm] (n [mm] \to \infty).
[/mm]
Da f und g stetig sind, folgt:
[mm] f(r_n) \to f(x_0) [/mm] (n [mm] \to \infty) [/mm] und [mm] g(r_n) \to g(x_0) [/mm] (n [mm] \to \infty).
[/mm]
Hilft das ?
FRED
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