Standardaufgaben über Orthogonalität < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Sa 26.06.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hallo liebe Matheraumbesucher,
in ein paar Tagen ist nun schon meine LA Klausur... Ich bin schon extrem nervös deswegen. Unser Professor gibt ja eher wenige Tipps, aber er meinte einmal in der Vorlesung, dass das Kapitel über Orthogonalität besonders wichtig (am wichtigsten) sei!!!
-Deshalb wollte ich mal nachfragen, ob es denn irgendwelche "berühmten" Prüfungsaufgaben über Orthogonalität gibt, die man wissen sollte???
-Ich denke mir mal, dass damit auch das Berechnen von Orthogonalbasen und Orthonormalbasen eingeschlossen ist (oder???)...
Da ich das Gram-Schmidt-Verfahren grade intensiv "einstudiere" wollte ich mal wissen, ob es vielleicht irgendwelche "Schwierigkeiten" gibt, die man in so eine Aufgabe einbauen könnte. D.h. man soll im Grunde eine der Basen ausrechnen, muss aber dabei noch unbedingt ... beachten/vorher machen...
Gibt es sowas??? (Ich hoffe, ihr versteht was ich jetzt meine  )
Okay, das war schon die Frage, vielen lieben Dank schon mal, Grüße Cathy
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 20:24 Sa 26.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Cathrine!
So allgemein lassen sich deine Fragen nicht beantworten. Das hängt von vielem ab: vom Prof, vom Niveau der Uni, von dem, was ihr genau gemacht habt,...
Am besten wir üben etwas, dann siehst du ja, wo Probleme auftreten.
Ich stelle dir jetzt mal eine Aufgabe, und du versuchst sie zu lösen.
Gegeben sei auf $V = [mm] Span(1,x,x^2) \subset \IR[x]$ [/mm] das Skalarprodukt
[mm] $\sigma(f,g) [/mm] = [mm] \int_{-1}^1 f(x)g(x)\, [/mm] dx$.
a) Bestimme die Matrix von [mm] $\sigma$ [/mm] bezüglich der Basis [mm] $(1,x,x^2)$.
[/mm]
b) Bestimme eine Othonormalbasis von $V$.
Das könnte eine typische Klausuraufgabe sein.
Versuche sie zu lösen und teile uns deinen Lösungsweg mit. Wir kontrollieren und/bzw. korrigieren sie dann.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 So 27.06.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hallo Stefan,
bestimmt ist das eine leichtere Aufgabe... Leider ist sie für mich erxtrem schwer, ich hoffe, ich kriege jetzt überhaupt etwas hin!!! Zu allererst habe ich das Problem gehabt, dass ich nicht wusste wie ich anfange sollte und dann dachte ich mir, ich werde wohl das Integral ausrechnen müssen :-(
Die Matrix ist 3 dimensional, oder? Muss ich das prüfen???
also [mm]\sigma(1,1)= \integral_{1}^{-1} f(1)g(1) dx = \integral_{1}^{-1}1.1 dx= \integral_{1}^{-1} 1 dx = x (in den Grenzen 1 und -1)= 1-(-1)=2[/mm]
Ich hoffe, dass es bis dahin stimmt.
Als nächstes muss man die einser dann umgekehrter Reihenfolge integrieren und bekommt dann natürlich auch 2 heraus.
[mm]\sigma(1,x)= \integral_{1}^{-1} f(1)g(x) dx = \integral_{1}^{-1}1.x dx= \integral_{1}^{-1} x dx = x^2 (in den Grenzen 1 und -1)= 1-(1)=0[/mm]
[mm]\sigma(x,1)= \integral_{1}^{-1} f(x)g(1) dx = \integral_{1}^{-1}x.1 dx= \integral_{1}^{-1} x dx = x^2 (in den Grenzen 1 und -1)= 1-(1)=0[/mm]
ich schreibe jetzt aber nur mal die weiteren Ergebnisse hin, sonst schaffe ich das Zeitlimit nicht mehr...
[mm]\sigma(x, x)=2/3 [/mm] und das dann 2mal.
[mm]\sigma(1, x^2)=2/3 [/mm] ja dasselbe... Ob das stimmt???
[mm]\sigma(x^2, 1)=2/3 [/mm] wenn das oben drüber stimmen würde...
bei [mm]\sigma(x, x^2) und \sigma(x^2, x) =0[/mm] ???
und endlich bei:
[mm] mm]\sigma(x^2,x^2)=2/5 [/mm] [/mm] 2 mal!!!
WIE LAUTET NUN DIE MATRIX (ich habe keine Ahnung, aber ich rate...
Ich habe dummerweise mehr komponeten als ich brauch, also mache ich die doppelten bei den gleichen weg...
[mm] \begin{pmatrix}
2 & 0 & 2/3\\
0 & 2/3 & 0\\
2/3 & 0 & 2/5
\end{pmatrix} [/mm]
Das mit den doppelten, die die Diagonalen bilden.... Ist eigentlich logisch, [mm] a_1,1 [/mm] ? So. falls es SO ist, verstehe ich DAS auch!!!!
Wenn nicht: :-(
Die Orthonormalbasis rechne ich sofort aus, wenn ich nur wüsste, ob die Matrix jetzt stimmt...
Ich schreibe mein Ergebnis später (in ein paar Stunden hin)
NOCH Mal 1000 Dank, dass du so eine Aufgabe für mich herausgesucht hast!!! (ich musste das mit dem Integral noch mal in ANa durchlesen...)
Bis gleich, Cathy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 So 27.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Cathrine!
> bestimmt ist das eine leichtere Aufgabe... Leider ist sie
> für mich erxtrem schwer, ich hoffe, ich kriege jetzt
> überhaupt etwas hin!!!
Naja, schauen wir mal.
> Zu allererst habe ich das Problem
> gehabt, dass ich nicht wusste wie ich anfange sollte und
> dann dachte ich mir, ich werde wohl das Integral ausrechnen
> müssen :-(
Okay, aber dieses Problem hast du ja wohl gelöst. Das finde ich gut. 
> Die Matrix ist 3 dimensional, oder? Muss ich das
> prüfen???
Eine Matrix kann keine Dimension haben. Du meinst, dass es sich um eine $3 [mm] \times [/mm] 3$-Matrix handelt. Okay, das stimmt, aber das ist ja klar, per definitionem, da gibt es nichts zu überprüfen.
> also [mm]\sigma(1,1)= \integral_{1}^{-1} f(1)g(1) dx = \integral_{1}^{-1}1.1 dx= \integral_{1}^{-1} 1 dx = x (in den Grenzen 1 und -1)= 1-(-1)=2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich hoffe, dass es bis dahin stimmt.
![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
> Als nächstes muss man die einser dann umgekehrter
> Reihenfolge integrieren und bekommt dann natürlich auch 2
> heraus.
> [mm]\sigma(1,x)= \integral_{1}^{-1} f(1)g(x) dx = \integral_{1}^{-1}1.x dx= \integral_{1}^{-1} x dx = x^2 (in den Grenzen 1 und -1)= 1-(1)=0[/mm]
> [mm]\sigma(x,1)= \integral_{1}^{-1} f(x)g(1) dx = \integral_{1}^{-1}x.1 dx= \integral_{1}^{-1} x dx = x^2 (in den Grenzen 1 und -1)= 1-(1)=0[/mm]
>
> ich schreibe jetzt aber nur mal die weiteren Ergebnisse
> hin, sonst schaffe ich das Zeitlimit nicht mehr...
> [mm]\sigma(x, x)=2/3[/mm] und das dann 2mal.
>
> [mm]\sigma(1, x^2)=2/3[/mm] ja dasselbe... Ob das stimmt???
> [mm]\sigma(x^2, 1)=2/3[/mm] wenn das oben drüber stimmen würde...
>
> bei [mm]\sigma(x, x^2) und \sigma(x^2, x) =0[/mm] ???
>
> und endlich bei:
>
> [mm]mm]\sigma(x^2,x^2)=2/5[/mm][/mm] 2 mal!!!
> WIE LAUTET NUN DIE MATRIX (ich habe keine Ahnung, aber ich
> rate...
Nein, das tust du nicht, du hast ja alles berechnet.
> Ich habe dummerweise mehr komponeten als ich brauch, also
> mache ich die doppelten bei den gleichen weg...
Häh??? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> [mm]\begin{pmatrix}
2 & 0 & 2/3\\
0 & 2/3 & 0\\
2/3 & 0 & 2/5
\end{pmatrix}[/mm]
Dein Ergebnis stimmt jedenfalls, sehr, sehr schön, das gibt mir Hoffnung, dass du auch den zweiten Teil der Aufgabe hinbekommst.
Sehr gut! ![[respekt2]](/images/smileys/respekt2.gif "[respekt2]")
>
> Das mit den doppelten, die die Diagonalen bilden.... Ist
> eigentlich logisch, [mm]a_1,1[/mm] ? So. falls es SO ist, verstehe
> ich DAS auch!!!!
> Wenn nicht: :-(
>
> Die Orthonormalbasis rechne ich sofort aus, wenn ich nur
> wüsste, ob die Matrix jetzt stimmt...
Okay, dann ran an die Arbeit! Ich warte...
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:31 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hi Stefan,
wahrscheinlich kannst du dir gar nicht vorstellen, wie sehr ich mich freue, dass es STIMMT....
Da habe ich ja doch noch ein winziges bisschen Hoffnung für meine Klausur. Jetzt aber genug der Freudenstränen
Meine Orthonormalbasis lautet:
[mm]u_1= \begin{pmatrix} \bruch{6}{\wurzel{40}} \\ 0 \\ \bruch{2}{\wurzel{40}} \end{pmatrix}[/mm]
[mm] u_2= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] u_3= \begin{pmatrix} 5.\wurzel{754} \\ 0 \\ 27\wurzel{754} \end{pmatrix} [/mm]
Also ich gebe zu, die letzte kommt mir sehr komisch vor....
Das kam bei mir aber raus.
Das ganze Verfahren muss ich ja nicht hinschreiben, oder???
Ich habe es auch 100%ig alleine gemacht.
So! Ist es richtig???? *hoff!!!*
Bis bald Cathy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:07 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Cathrine!
> wahrscheinlich kannst du dir gar nicht vorstellen, wie sehr
> ich mich freue, dass es STIMMT....
> Da habe ich ja doch noch ein winziges bisschen Hoffnung
> für meine Klausur. Jetzt aber genug der Freudenstränen
>
> Meine Orthonormalbasis lautet:
>
> [mm]u_1= \begin{pmatrix} \bruch{6}{\wurzel{40}} \\ 0 \\ \bruch{2}{\wurzel{40}} \end{pmatrix}[/mm]
>
>
>
> [mm]u_2= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> [mm]u_3= \begin{pmatrix} 5.\wurzel{754} \\ 0 \\ 27\wurzel{754} \end{pmatrix}[/mm]
>
Das kann doch gar nicht richtig sein. Wir sind im Polynomraum, also müssen auch Polynome rauskommen. Oder sind das die Koordinatenvektoren bezüglich der Standardbasis [mm] $\{1,x,x^2\}$? [/mm] Dann solltest du das so auch hinschreiben.
Du solltest ja Gram-Schmidt-Verfahren anwenden, richtig?
Poste mal bitte deine gesamte Rechnung, dann kann ich es besser kontrollieren.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hi Stefan,
also das, was ich da ausgerechnet habe ist vollkommener Schrott! Aber jetzt kann ich das Gram-Schmidt-Verfahren, habe nochmal geübt un dabei festgestellt, dass ich die ganze Zeit falsch gerechnet habe...
Aber der Polynomraum könnte schwierig werden...
Ich habe noch keine ahnung, wie ich das anstellen soll, aber mal schauen. Vielleicht kommt mir gleich die Idee!
Ich muss also das x irgendwie einbeziehen?!!
Nehme ich denn jetzt die Spalten der Matrix???
[mm]b_1=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2/3 \end{pmatrix}
b_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 2/3 \\ 0 \end{pmatrix}
b_3=\begin{pmatrix} 2/3 \\ 0 \\ 2/5 \end{pmatrix}[/mm]
Das Verfahren könnte ich schon, aber ich weiß nicht, wie ich die Polynome einbeziehen kann...
Sind etwa schon [mm] b_1 [/mm] bis [mm] b_3 [/mm] falsch???
Ich weiß nicht, wie ich da drauf kommen soll...
Viele Grüße
Cathrine
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 21:00 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Cathrine |
Ich antworte mir jetzt mal selber, weil ich gerade gemerkt habe, was für einen Fehler ich gemacht habe...
Die gesuchte ONB bezieht sich ja nicht auf die Matrix, sondern auf die geg. Basis. Sorry!
Also heißt das
[mm] b_1=(1, [/mm] 0, 0)
[mm] b_2=(0, [/mm] x, 0)
[mm] b_3=(0, [/mm] 0, x²)
So etwa???
Aber dann habe ich trotzdem keine Idee mehr...
Oder??? Weil, wenn ich [mm] b_1 [/mm] normiere bliebe er ja 1. Oder vielleicht Wurzel von [mm] \sigma???
[/mm]
Bin etwas ratlos, Cathy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Di 29.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Cathrine!
Wir wenden das Gram-Schmidt-Verfahren an.
Erst nehmen wir unser erstes Basiselement [mm] $p_1$ [/mm] mit [mm] $p_1(x)=1$ [/mm] und normieren es.
Es gilt:
[mm] $\Vert p_1\Vert^2 [/mm] = [mm] \int_{-1}^1 1^2\, [/mm] dx = 2$,
also:
[mm] $\Vert p_1 \Vert [/mm] = [mm] \sqrt{2}$.
[/mm]
Daher ist
[mm] $\hat{p_1}(x):= \frac{p_1(x)}{\Vert p_1 \Vert} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$
[/mm]
das erste Basiselement der gesuchten Orthonormalbasis.
Nun nehmen wir unser zweites Basiselement [mm] $p_2(x)=x$ [/mm] und berechnen (nach Gram-Schmidt) zunächst:
[mm] $\tilde{p_2}(x) [/mm] = [mm] p_2(x) [/mm] - [mm] s(\hat{p_1},p_2) \cdot \hat{p_1}(x)$.
[/mm]
Wegen
[mm] $s(p_1,p_2) [/mm] = [mm] \int_{-1}^1 [/mm] 1 [mm] \cdot x\, [/mm] dx = 0$
ist
[mm] $\tilde{p_2}(x) [/mm] = [mm] p_2(x)$.
[/mm]
Nun normieren wir noch. Wegen
[mm] $\Vert \tilde{p_2} \Vert^2 [/mm] = [mm] \int_{-1}^1 x^2\, [/mm] dx = [mm] \frac{2}{3}$,
[/mm]
also:
[mm] $\Vert \tilde{p_2} \Vert [/mm] = [mm] \sqrt\frac{{2}{3}}$
[/mm]
ist
[mm] $\hat{p_2}(x):= \frac{p_2(x)}{\Vert p_2 \Vert} [/mm] = [mm] \sqrt{\frac{3}{2}} [/mm] x$
das zweite Basiselement der gesuchten Orthonormalbasis.
Nun nehmen wir das dritte Basiselement [mm] $p_3(x)=x^2$ [/mm] und berechnen (nach Gram-Schmidt) zunächst:
[mm] $\tilde{p_3}(x) [/mm] = [mm] p_3(x) [/mm] - [mm] s(\hat{p_1},p_3) \cdot \hat{p_1}(x) [/mm] - [mm] s(\hat{p_2},p_3)\cdot \hat{p_2}(x) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] - [mm] \frac{1}{2} \int_{-1}^1 x^2\, [/mm] dx - [mm] \frac{3}{2} \int_{-1}^1 x^3\, [/mm] dx [mm] \cdot [/mm] x= [mm] x^2 [/mm] - [mm] \frac{1}{2} \frac{2}{3} [/mm] = [mm] x^2 [/mm] - [mm] \frac{1}{3}$.
[/mm]
Nun normieren wir noch. Wegen
[mm] $\Vert \tilde{p_3} \Vert^2 [/mm] = [mm] \int_{-1}^1 (x^4 [/mm] - [mm] \frac{2}{3}x^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{9}) \, [/mm] dx = [mm] \frac{2}{5} [/mm] - [mm] \frac{4}{9} [/mm] + [mm] \frac{2}{9} [/mm] = [mm] \frac{8}{45}$,
[/mm]
also:
[mm] $\Vert \tilde{p_3} \Vert [/mm] = [mm] \sqrt{\frac{8}{45}}$
[/mm]
ist
[mm] $\hat{p_3}(x):= \frac{p_3(x)}{\Vert p_3 \Vert} [/mm] = [mm] \sqrt{\frac{45}{8}} (x^2-\frac{1}{3})$
[/mm]
das dritte (und letzte) Basiselement der gesuchten Orthonormalbasis.
Auf dem Niveau dürften sich die aller-allereinfachsten Klausuraufgaben bewegen. Wenn du so etwas nicht alleine hinbekommst, sieht es ganz düster aus, das muss ich dir leider so ehrlich sagen.
Liebe Grüße
Stefan
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