Sinus Cosinus Kurve < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:46 Sa 10.07.2004 | | Autor: | Diano |
Hallo,
Wie kann ich denn die Schnittpunkte mit der X-achse bei folgender Gleichung berechnen?
1/2 sinx + cosx D=[-1/2 pi ; 3/2 pi]
Also ich denke ich setzte erstmal 0.
1/2 sinx + cosx=0
dann
1/2 sinx = -cosx
Jetzt muss ich nur die Schnittpunkte der beiden Kurven berechnen. ohne den streckfaktor der y-Achse (1/2) wäre das auch noch einfach, aber wie kann ich sowas Grundsätzlich berechnen(ohne die Gleichung in meinen TR einzugeben?
Danke´
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Sa 10.07.2004 | | Autor: | andreas |
hi Diano
es gibt eine möglichkeit funktionen, in denen alle terme die selbe periodenlänge haben (hier ist sie ja überall [m] 2\pi [/m]) in einen term umzuschreiben.
dazu macht man den allgemeinen ansatz:
[m] \frac{1}{2} \sin (x) + cos (x) = A \cos (\varphi x + \omega) [/m]
den wert von [m] \varphi [/m] kann man sofort bestimmen, den die rechte seite soll die selbe periodenlänge haben, wie die linke, also müssen die vorfaktoren vor dem x gleich sein, also [m] \varphi = 1[/m].
den rest kannst du nun mit additionstheoremen auseinander nehmen und erhältst:
[m] \frac{1}{2} \sin (x) + \cos (x) = A \cos (x + \omega) \\
\frac{1}{2} \sin (x) + \cos (x) = A \cos (x) \cos(\omega) - A \sin(x) \sin(\omega) \\ \frac{1}{2} \sin (x) + \cos (x) = - A \sin(\omega) \sin(x) + A \cos(\omega) \cos (x) [/m]
nun sollen die koeffizienten von [m] \sin(x) [/m] und [m] \cos(x) [/m] links und rechts übereinstimmen, also ergibt sich das gleichungssystem:
[m]\left| \begin{array}{l} \frac{1}{2} = -A \sin(\omega) \\ 1 = A \cos(\omega) \end{array} \right.[/m]
quadrierst du nun beide gleichungen und addierts sie danach erhältst du - mit [m] sin^2(\omega) + \cos^2(\omega) = 1[/m]:
[m] \frac{1}{4} + 1 = A^2 \sin^2(\omega) + A^2 \cos^2(\omega) \\
\frac{5}{4} = A^2 (\sin^2(\omega) + \cos^2(\omega)) \\
\frac{5}{4} = A^2 \\
A = \pm \dfrac{\sqrt{5}}{2} [/m]
rechnest du nun z.b. mit dem negativen wert und der oberen gleichung des gleichungssystems weiter, so erhältst du
[m] \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2} \sin(\omega) \\
\omega = \arcsin(\frac{1}{\sqrt{5}}) [/m]
und damit insgesamt die gleichheit:
[m] \frac{1}{2} \sin(x) + \cos(x) = - \frac{\sqrt{5}}{2} \cos(x + \arcsin(\frac{1}{\sqrt{5}})) [/m]
jetzt muss man "nur" noch die nullstellen der rechststehenden funktion bestimmen, also im prinzip [m] x \in [- \frac{1}{2} \pi; \frac{3}{2} \pi] [/m] suchen, für die
[m] x + \arcsin(\frac{1}{\sqrt{5}}) = \frac{\pi}{2} + k \pi [/m] mit [m] k \in \mathbb{Z}[/m] ist.
ich erhalte dabei [m] x_1 = \arcsin(\frac{1}{\sqrt{5}}) - \frac{\pi}{2} [/m] und [m] x_2 = \arcsin(\frac{1}{\sqrt{5}}) + \frac{\pi}{2} [/m]
natürlich alles vorbehaltlich rechenfehler etc.
ich lasse die frage mal teilweise beantwortet, da ich fast glaube, dass man da einen einfacheren weg finden kann.
gruß andreas
|
|
|
| |
|
Hallo,
Nicht alle Gleichungen lassen sich in geschlossene Form lösen. In dem Fall aber doch.
[mm] \bruch{1}{2}sinx=-cosx
[/mm]
[mm] \bruch{sinx}{cosx}=-2
[/mm]
[mm]tanx=-2[/mm]
[mm] x=-arctan2+k\pi
[/mm]
Das ist die Lösung.
Mit freundlichen Grüßen,
Ladis
|
|
|
|
