Schnitt offener Mengen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Mo 03.05.2010 | | Autor: | etoxxl |
| Aufgabe | Zu zeigen:
(A [mm] \cap [/mm] B)° = A° [mm] \cap [/mm] B°
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Hallo,
darf man bei der oben stehenden Aufgabe so argumentieren:
"=>"
Sei x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)°
(=) x liegt im Inneren von A [mm] \cap [/mm] B
(=) x [mm] \in [/mm] A° und x [mm] \in [/mm] B°
(=) x [mm] \in [/mm] A° [mm] \cap [/mm] B°
"<="
genauso wie bei "=>" nur rückwärts
?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Mo 03.05.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Nein, ganz so einfach ist es nicht.
Ich fang mal mit der einen Richtung an:
Es gilt ja $A' [mm] \subseteq [/mm] A$ und $B' [mm] \subseteq [/mm] B$.
Daher ist $A' [mm] \cap [/mm] B' [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$.
Nun gilt $A' [mm] \cap [/mm] B'=(A' [mm] \cap [/mm] B')' [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)'$, da ja M offen [mm] \gdw [/mm] M=M' gilt und Durchschnitte endlich vieler offenen Mengen offen sind.
Nun noch die Rückrichtung.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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