Satz von Stokes < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | i)
Sei [mm] \omega [/mm] = x dy in [mm] \IR^{2} [/mm] und sei [mm] c:[0,2\pi] [/mm] gegeben durch c(t)=(a*cos(t),b*sin(t)), a,b [mm] \in (0,\infty). [/mm] Berechnen Sie [mm] \integral_{c}\omega.
[/mm]
ii)
Seien a,b [mm] \in (0,\infty). [/mm] Berechen Sie [mm] \lambda_{2}(M), [/mm] wobei
[mm] M=\{(x,y)\in \IR^{2}| \bruch{x^{2}}{a^{2}}+\bruch{y^{2}}{b^{2}}<1\}. [/mm] |
zu i)
Die Lösung scheint mir klar zu sein. Es gilt die Gleichung [mm] \integral_{c}\omega=ab\pi
[/mm]
zu ii)
Gem. Lösungsskizze:
Da c eine Parametrisierung vom Rand von M ist folgt aus Stokes:
[mm] \lambda_{2}(M)=\integral_{M}dxdy=\integral_{M}dx\wedge [/mm] dy = [mm] \integral{M} d\omega [/mm] = [mm] \integral{\partial M} \omega [/mm] = [mm] \integral_{c} \omega [/mm] = [mm] ab\pi
[/mm]
Hier verstehe ich nicht, inwiefern c eine Parametrisierung vom Rand von M sein soll. Versteht das jemand? 
Und außerdem gilt immer [mm] \integral_{M}dxdy [/mm] = [mm] \integral_{M} [/mm] dx [mm] \wedge [/mm] dy?
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 17.03.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> i)
> Sei [mm]\omega[/mm] = x dy in [mm]\IR^{2}[/mm] und sei [mm]c:[0,2\pi][/mm] gegeben
> durch c(t)=(a*cos(t),b*sin(t)), a,b [mm]\in (0,\infty).[/mm]
> Berechnen Sie [mm]\integral_{c}\omega.[/mm]
>
> ii)
> Seien a,b [mm]\in (0,\infty).[/mm] Berechen Sie [mm]\lambda_{2}(M),[/mm]
> wobei
>
> [mm]M=\{(x,y)\in \IR^{2}| \bruch{x^{2}}{a^{2}}+\bruch{y^{2}}{b^{2}}<1\}.[/mm]
>
> zu i)
> Die Lösung scheint mir klar zu sein. Es gilt die
> Gleichung [mm]\integral_{c}\omega=ab\pi[/mm]
aha, die Lösung scheint Dir klar zu sein... wie soll man das verstehen?
>
> zu ii)
> Gem. Lösungsskizze:
> Da c eine Parametrisierung vom Rand von M ist folgt aus
> Stokes:
> [mm]\lambda_{2}(M)=\integral_{M}dxdy=\integral_{M}dx\wedge[/mm] dy
> = [mm]\integral{M} d\omega[/mm] = [mm]\integral{\partial M} \omega[/mm] =
> [mm]\integral_{c} \omega[/mm] = [mm]ab\pi[/mm]
>
> Hier verstehe ich nicht, inwiefern c eine Parametrisierung
> vom Rand von M sein soll. Versteht das jemand?
Wie soll das jemand verstehen, wenn Du weder die Lösungsskizze noch den expliziten Ausdruck für c zeigst?
> Und außerdem gilt immer [mm]\integral_{M}dxdy[/mm] = [mm]\integral_{M}[/mm]
> dx [mm]\wedge[/mm] dy?
>
>
> LG
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Di 17.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> i)
> Sei [mm]\omega[/mm] = x dy in [mm]\IR^{2}[/mm] und sei [mm]c:[0,2\pi][/mm] gegeben
> durch c(t)=(a*cos(t),b*sin(t)), a,b [mm]\in (0,\infty).[/mm]
> Berechnen Sie [mm]\integral_{c}\omega.[/mm]
>
> ii)
> Seien a,b [mm]\in (0,\infty).[/mm] Berechen Sie [mm]\lambda_{2}(M),[/mm]
> wobei
>
> [mm]M=\{(x,y)\in \IR^{2}| \bruch{x^{2}}{a^{2}}+\bruch{y^{2}}{b^{2}}<1\}.[/mm]
>
> zu i)
> Die Lösung scheint mir klar zu sein. Es gilt die
> Gleichung [mm]\integral_{c}\omega=ab\pi[/mm]
>
> zu ii)
> Gem. Lösungsskizze:
> Da c eine Parametrisierung vom Rand von M ist folgt aus
> Stokes:
> [mm]\lambda_{2}(M)=\integral_{M}dxdy=\integral_{M}dx\wedge[/mm] dy
> = [mm]\integral{M} d\omega[/mm] = [mm]\integral{\partial M} \omega[/mm] =
> [mm]\integral_{c} \omega[/mm] = [mm]ab\pi[/mm]
>
> Hier verstehe ich nicht, inwiefern c eine Parametrisierung
> vom Rand von M sein soll. Versteht das jemand?
Ja, ich.
Es ist
[mm] $\partial M=\{(x,y)\in \IR^{2}| \bruch{x^{2}}{a^{2}}+\bruch{y^{2}}{b^{2}}=1\}. [/mm] $
Mit [mm] \bruch{x}{a}=cos(t) [/mm] und [mm] \bruch{y}{b}=sin(t) [/mm] ist
[mm] \bruch{x^{2}}{a^{2}}+\bruch{y^{2}}{b^{2}}=1,
[/mm]
also $c([0, 2 [mm] \pi]= \partial [/mm] M$
FRED
> Und außerdem gilt immer [mm]\integral_{M}dxdy[/mm] = [mm]\integral_{M}[/mm]
> dx [mm]\wedge[/mm] dy?
>
>
> LG
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