Problem beim auflösen der Nullstelle < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Fr 27.08.2004 | | Autor: | Blade |
Hi all,
Ich bin gerade dabei eine Kurvendiskussion zu lösen, hänge allerdings beim Auflösen der Funktion nach x, ich komme einfach auf keinen grünen Zweig :(
[mm] 0=\bruch{x^{3}}{3}+2*x^{2}+3*x-1
[/mm]
Bin Dankbar für jede Hilfe.
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Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Fr 27.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Blade,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich bin gerade dabei eine Kurvendiskussion zu lösen, hänge
> allerdings beim Auflösen der Funktion nach x, ich komme
> einfach auf keinen grünen Zweig :(
>
> [mm]0=\bruch{x^{3}}{3}+2*x^{2}+3*x-1
[/mm]
Das erste, was du hier machen könntest, ist, die Gleichung mit 3 zu multiplizieren:
[mm]0=x^{3}+6*x^{2}+9*x-3[/mm]
So ist schon mal der Bruch entfernt.
Wenn du nun auf eine ganzzahlige Lösung hoffst, kommen hier nur 1, 3, -1 und -3 --die Teiler des Absolutgliedes -3-- in Frage. Durch Einsetzen dieser vier in Frage kommenden x-Werte hast du schnell herausgefunden, ob einer eine Nullstelle ist.
In diesem Fall scheint es aber keine ganzzahlige Nullstelle zu geben -- bist du sicher, dass die Gleichung richtig ist? Schreibe uns doch auch mal die Ausgangsfunktion, mit der du die Kurvendiskussion durchführst.
Wenn es nun eine ganzzahlige Nullstelle gäbe, könntest du nach Polynomdivision (oder Horner-Schema) die restlichen Nullstellen finden.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Fr 27.08.2004 | | Autor: | Disap |
Hier stand mal Unsinn, sorry 4 spam
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 Fr 27.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Dispap!
> Du darfst die Funktionsgleichung nicht mit mal 3
> erweitern!
Hab' ich ja auch nicht gemacht, denn ich habe die Nullstellengleichung mit 3 multipliziert.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 Fr 27.08.2004 | | Autor: | Disap |
du bist sau schnell, das war auch unsinn von mir, hab nicht aufgepasst :(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Fr 27.08.2004 | | Autor: | Blade |
Also die Funktion ist [mm]y=x^{3}+6*x^{2}+9*x-3[/mm]
Die Angabe lautet: "Für die folgenden durch ihre Funktionsgleichung gegebenen Funktionen ist zu ermitteln: (1) Nullstelle(n), (2) Relative Extrema, (3) Wendepunkt(e), Wendetangente(n) und (4) Graph"
Das Ergebnis ist laut Lösungsbuch N(0,279 , 0)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:49 Fr 27.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Blade!
Wie habt ihr denn bisher Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen dritten Grades bestimmt, wenn es keine ganzzahligen Lösungen gab?
Habt ihr irgendwelche Näherungsverfahren kennengelernt (Newton-Verfahren, Intervallschachtelung,...)?
Ansonsten kannst du die Aufgabe nicht vernünftig lösen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 Fr 27.08.2004 | | Autor: | Blade |
Hi,
Wir haben das Newton-Verfahren gelernt.
Normalerweise, sind wir bisher immer so vorgegangen das wir die Gleichung entweder auf x oder auf eine quadratische Gleichung umgeformt haben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:39 Sa 28.08.2004 | | Autor: | BahrJan |
Ich könnte auch nur durch ausprobieren (Näherungsverfahren) die Lösung erhalten.
Die Nullstelle liegt zwischen -1 und 1.
Du musst also einige Werte ausprobieren um immer näher an die Nullstelle ranzukommen.
( z.B. -0,5; 0,5; 0,2; -0,2; 0,25;-0,25; usw. bis Du mind. 3 stellen hinter dem Komma Nullen hast. Die meisten Lehrer sind mit 3 Stellen zufrieden.
Die Bedingungen für Maxima und Minima sind dann:
Max: [mm]y'= f'(x)=0 [/mm] und [mm] f''(x) <0[/mm]
Die Steigung ist an den Extremstellen = 0. Die zweite Ableitung gibt die Richtung des Gaphen an ( geht er nach unten also kleiner 0, so ist es ein Max. geht er nach oben also größer 0 so ist es ein Min.)
Min: [mm] y'=f'(x)=0 [/mm] und [mm] f''(x) > 0[/mm]
Wendepunkt:[mm]y''= f''(x)=0[/mm] und [mm] f'''(x)\ne0 [/mm]
[mm]y'= f'(x) = 3x^2+12x+9[/mm]
[mm]y''= f''(x) = 6x+12[/mm]
[mm]y'''= f'''(x)= 6[/mm]
Mir hat es immer geholfen den Graphen mit Excel zu erstellen, damit man sieht wie der Verlauf überhaupt aussieht.
viel Spaß noch mit der Aufgabe.
J.-P.
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Hallo Blade,
Auf ![[]](/images/popup.gif) http://www.mathe.braunling.de/Alggl.htm findest du ein paar "Kochrezepte" für solche Gleichungen. Wir gehen also von [mm] $x^3 [/mm] + [mm] 6x^2 [/mm] + 9x - 3 = 0$ aus. Sei $x := y - [mm] \tfrac{6}{3} [/mm] = y - 2$:
[mm] $\Rightarrow (y-2)^3 [/mm] + [mm] 6(y-2)^2 [/mm] + 9(y-2) - 3 = 0$
[m]\gdw 0 = y^3 - 3*y^2*2 + 3*y*4 - 8 + 6(y^2-4y+4) + 9y - 18 - 3
= y^3 - 3y - 5[/m]
[..]
$p = 9 - [mm] \bruch{36}{3} [/mm] = -3$
$q = [mm] 2*\bruch{6^3}{27} [/mm] - [mm] \bruch{6*9}{3} [/mm] - 3 = -5$
Du brauchst keine imaginären Lösungen, sondern willst sicherlich nur eine reelle Lösung haben:
[m]\begin{gathered}
y_0 = u + v = \sqrt[3]{{ - \frac{{ - 5}}
{2} + \sqrt {\left( {\frac{{ - 5}}
{2}} \right)^2 + \left( {\frac{{ - 3}}
{3}} \right)^2 } }} + \sqrt[3]{{ - \frac{{ - 5}}
{2} - \sqrt {\left( {\frac{{ - 5}}
{2}} \right)^2 + \left( {\frac{{ - 3}}
{3}} \right)^2 } }} \hfill \\
= \sqrt[3]{{\frac{5}
{2} - \frac{{\sqrt {21} }}
{2}}} + \sqrt[3]{{\frac{{\sqrt {21} }}
{2} + \frac{5}
{2}}} \hfill \\
\hfill \\
x = y_0 - 2 = u + v - 2 = \sqrt[3]{{\frac{5}
{2} - \frac{{\sqrt {21} }}
{2}}} + \sqrt[3]{{\frac{{\sqrt {21} }}
{2} + \frac{5}
{2}}} - 2 \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 So 29.08.2004 | | Autor: | Blade |
danke an alle, das hat mir sehr weitergeholfen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Sa 28.08.2004 | | Autor: | Disap |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ja, das Ergebnis ist richtig, was im Lösungsbuch steht.
Es gibt hierbei viele Möglichkeiten, die Nullstellen zu berechnen. Man könnte die "Formeln von Cardano" benutzen oder die "Cardanischen Formeln" (http://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln), aber das ist mir zu kompliziert. Deswegen würde ich das Näherungsverfahren (zur Berechnung von Nullstellen) bzw. das sogenannte Tangentenverfahren von Newton vorschlagen!
Deine Funktionsgleichung lautet:
f(x)=\bruch{x^{3}}{3}+2\cdot{}x^{2}+3\cdot{}x-1
Die erste Ableitung brauchen wir auch:
f'(x) = x^{2} + 4x +3
Zum interessanten Teil für dich:
die Newton Formel lautet:
$ xn+1=xn - \bruch{fxn}{f'xn) $
Hierbei gilt es als erstes, die Nullstelle abzuschätzen, wobei man das einfach durch einsetzen in die f(x) - gleichung machen kann. Somit habe ich mit dem Wert eins angefangen und in die Newtonformel eingesetzt:
da ich mit den Brüchen Probleme habe, also die hier darzustellen, sag ich mal eben, was die WErte für f(x) und f'(x) sind, wobei der Wert für x (wie gesagt) 1 ist.
$ f(1)=\bruch{13}{3}$
f'(1)=8
Das in die Newtonformel eingesetzt:
$ x= 1 - \bruch{13/3}{8) $
Ergibt als Ergebnis + 0,46. Wobei man das Plus auch weglassen kann!
Das muss man jetzt als Probe in die Funktionsgleichung einsetzen
also f(0,46) = 0,032 + 0,42 + 1,38 -1
(Entschuldige meine Unfähigkeit für die Brüche, aber ich habe jetzt echt keinen Bock mehr, das zu ändern, das ist wie beim Programmieren, man ändert etwas und schon treten woanders Fehler auf)
Als Ergebnis haben wir hier jetzt 0,832.
Das heisst, ein Punkt ist bei (0,46 | 0,832).
Jetzt muss man den Vorgang wiederholen, indem man den herausbekommenen X-Wert wieder in die normale Funktiosngleichung und in die Ableitung einsetzt. Dann wieder zurück zur Newton Formel, die dann lauten würde:
$ x= 0,46 - \bruch{0,832}{5.05) $
Das Ergebnis ist jetzt schon: 0,2952
Der Nachteil ist bei der Newtonschen Formel, man muss viel Rechnen, man darf nicht mit zu hohen WErten anfangen zu rechnen und sie ist nicht zu 100% genau, sondern nur zu 99,9%.
Dann setzt man diese 0,29 wieder in die normale Funktionsgleichung, hat zwar immernoch nicht genau 0 heraus, aber den Rest kannst du ja machen ;)
Achja, den Rest könnte man dann theoretisch durch Polynomdivision herausbekommen und dann die pq-Formel anwenden, ist aber überflüssig, da der Graph nur eine Nullstelle hat!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 Sa 28.08.2004 | | Autor: | Disap |
Jetzt aber:
du darfst die Funktionsgleichung nicht mit mal 3 erweitern/multiplizieren! Dadurch ergibt sich ein neuer Graph und somit auch neue Ergebnisse
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